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对 一类典 型排 列组合 问题 的变式求解 ■ 姚 强 罗小林 在学习高中数学排列 、 组合这一章时， 经常碰到这样一类 习题 ： 有 m个不同的元素， 全部分配给 ／ 7 , 个不同的人(或单位) ， 每人( 或每单位) 至少一个元素， 共有几种分配方案? 例如： 有 5 名学生， 全部分到 4 个班级， 每班至少分到一人 ， 共有几种分配方案? 在学生的解答中， 有一种常见的错误思路 ： 先从 5 个人中选 出4个人分配到四个班， 剩下的1个人有四种选择， 故有A： ×4 = 480 种． 错因分析： 假定从 A 、 B 、 C 、 D、 五名学生中选出 A、 、 C 、 D 四位分别分配到甲、 乙、 丙、 丁四个班， 剩下的 E 若分给甲班， 则 就是 甲(A 、 E ) 、 乙( B) 、 丙( c ) 、 丁(D) ； 但先选出的四人也可能 是 E、 B 、 C 、 D 分别分给甲、 乙、 丙、 丁四个班， 剩下的A 若分给甲 班 ， 形成了甲( 、 A ) 、 乙(B ) 、 丙( c ) 、 丁( D) ， 与前面重复． 正解： 先分组再分配： 先把5 个人分为4 组， 有 ： 1 O种分组法； 再把四个组分给四个班有A：= 24种分配方案． 所 以共有 1 0 × 24 = 240 种方案． 此类问题往往牵扯到平均分组问题 ， 学生不容易把握 ， 下 面通过几个变式练习来熟悉一下此类问题的解题技巧． 一、改变数字的变式 变式 1： 有 6 名学生， 全部分到 4 个班级 ， 每班至少分到一 人， 共有几种分配方案? 解：先 分组 ：有 两 种 分组 方 案 -1． 2 2 1 1： 45 I2． 曼3 ； 1 竺 1 1=2 。 ． 故 共 有 ( ； + i )×A 4= 5 6 。 种 方案． 二 、 增加限制条件 的变式 变式 2： 有甲、 乙、 丙、 丁、 戊五名学生， 全部分到A 、 、 C、 D 四 个班级， 每班至少分到一人且 甲必须分到A 班， 共有几种分配方 案 ? 解1： 分类． ( 1) 只有甲在 班： A；：36 ； (2) 甲和另外一人在A 班： c： = 24 种． 因此 ， 共有 36 + 24 = 60 种分配方案． 解2： 先分组再分配． 分成四组． 有c； 种分组法； 将含有甲的 一组给A 班， 其余三组分配到B、 c 、 D 三个班级， 有 A 种分配法． 羽嘲 所以分配方案有e,A；= 60种． 变式 3： 编号为 A 、 B、 c 、 D 、 E、 ，的六名学生， 全部分到甲、 乙、 丙、 丁四个班级， 每班至少分到一人， 求A 、 B必须在一起的概 率? 解 ： 共 有 (堡 A 、 在一起有两种情况 ： (1) 只 有A、 日 两 人为 一 组： 堡 + 堡 ％ 孚 )× 4： l5 6 o 种 方 案 ． A： ： 1 44种； (2)A、 和另外一人为一组： c IA：= 96种． 故 所 求 的 概 率 是 P= 变式 4 ： 编号为 1、 2、 3、 4、 5、 6 的六名学生， 全部分到甲、 乙、 丙 、 丁四个班级， 每班至少分到一人， 至多不超过两人且必须连 号， 共有几种分配方案． 解： 由题 目条件， 6名学生只能按 2? 2 1 1来进行分组， 然后 =吉 ． 再进行分类． 1和2在一组： 另外两人一组的只能从3和4 ， 4 和5， 5和6三 组 中选一组 ， 有 c 种 ； 2 和3 在一组： 另外两人一组的只能从4 和5， 5 和6 两组中 选一组， 有 c2 1 种 ； 3 和4 在一组： 另外两人一组的只能选5 和6， 有A：= 24 种． 故共有 72 + 48 + 24 = 1 44 种分配方案． 三、 条件似是而非的两个变式 变式5： 有 6 名学生， 全部分到 3个班级学习， 每人只能到一 个班学习， 求一个班分到4 人 ， 另两个班各分到 1人的概率． 解： 此题的条件是“ 每人只能到一个班学习” 而非“ 每班只 有 一 人 ，’故 所 求 概 率 为 P=笋= ．变式 6： 有 100 个三好学生名额， 全部分到 1 0 个班级 ， 每班 至少分到一个名额 ， 共有几种分配方案? 解： 与前面不同， 此题中的“ 三好学生名额” 可看做是相同 元素， 用隔板法解决： 1 与 100 之间被自然数隔成 99 个空， 在这 99 个空之间任选9 个空插上板， 就把这100个数分为1O组， 每组 至少有一个数， 故共有c； 9种分配方案． [ 济南市长清第一中学 (250300) 贵州省遵义市第四中学 ( 563000) ] ． 1 1 ． * 骶 零豫静嚣