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    188宝金博页面版: 2020新课标高考数学典型习题专项训练：圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题

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    内容提示： 圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题 1．(2019·安徽省考试试题)已知椭圆 C： x2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a>b>0)的上顶点为 P，右顶点为 Q，直线 PQ 与圆 x 2 ＋y 2 ＝ 45 相切于点 M ????25 ，45. (1)求椭圆 C 的方程； (2)若不经过点 P 的直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，且PA→ ·PB → ＝0，求证：直线 l 过定点． 解：(1)由已知得直线 OM(O 为坐标原点)的斜率 k OM ＝2，则直线 PQ 的斜率 k PQ ＝－1k OM ＝－ 12 ， 所以直线 PQ 的方程为 y－ 45 ＝－12 ????x－ 25，即 x＋2y＝2.可求得 P(0，1)，Q(2，0)，故 a＝2，b＝1， 故椭圆 C 的方程为 x24 ＋y2 ＝1. (2)证明：当直线 l 的斜率不存在时，显然不满足条件． 当直线 l 的斜率存在时，设 l 的方程为 y＝k...

    文档格式：DOC | 页数：4 | 浏览次数：19 | 上传日期：2020-02-13 10:50:15 | 文档星级：
    圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题 1．(2019·安徽省考试试题)已知椭圆 C： x2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a>b>0)的上顶点为 P，右顶点为 Q，直线 PQ 与圆 x 2 ＋y 2 ＝ 45 相切于点 M ????25 ，45. (1)求椭圆 C 的方程； (2)若不经过点 P 的直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，且PA→ ·PB → ＝0，求证：直线 l 过定点． 解：(1)由已知得直线 OM(O 为坐标原点)的斜率 k OM ＝2，则直线 PQ 的斜率 k PQ ＝－1k OM ＝－ 12 ， 所以直线 PQ 的方程为 y－ 45 ＝－12 ????x－ 25，即 x＋2y＝2.可求得 P(0，1)，Q(2，0)，故 a＝2，b＝1， 故椭圆 C 的方程为 x24 ＋y2 ＝1. (2)证明：当直线 l 的斜率不存在时，显然不满足条件． 当直线 l 的斜率存在时，设 l 的方程为 y＝kx＋n(n≠1)， 由????? x24 ＋y2 ＝1y＝kx＋n，消去 y 整理得(4k 2 ＋1)x 2 ＋8knx＋4(n 2 －1)＝0， Δ ＝(8kn) 2 －4×4(4k 2 ＋1)(n 2 －1)＝16(4k 2 ＋1－n 2 )>0，得 4k 2 ＋1>n 2 .① 设 A(x 1 ，y 1 )，B(x 2 ，y 2 )，则 x 1 ＋x 2 ＝－8kn4k 2 ＋1 ，x 1 x 2 ＝4（n 2 －1）4k 2 ＋1.② 由PA→ ·PB → ＝0，得(x1 ，y 1 －1)·(x 2 ，y 2 －1)＝0，又 y 1 ＝kx 1 ＋n，y 2 ＝kx 2 ＋n， 所以(k 2 ＋1)x 1 x 2 ＋k(n－1)(x 1 ＋x 2 )＋(n－1) 2 ＝0，③ 由②③得 n＝1(舍)，或 n＝－ 35 ，满足①. 此时 l 的方程为 y＝kx－ 35 ，故直线 l 过定点 ????0，－ 35. 2．(2019·南昌市第一次模拟测试)已知椭圆 C： x2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F 1 ，F 2 ，离心率为 12 ，P 是 C 上的一个动点，且△F 1 PF 2 面积的最大值为 4 3. (1)求 C 的方程； (2)设 C 的左、右顶点分别为 A，B，若直线 PA，PB 分别交直线 x＝2 于 M，N 两点，过点 F 1 作以 MN 为直径的圆的切线，证明：切线长为定值，并求该定值． 解：(1)设 P(x 0 ，y 0 )，椭圆的半焦距为 c.

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