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    188宝金博页面版: 数学思想在大学数学解题中的应用

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    内容提示： 课外阅读 高等188宝金博页面版 数学思想在大学数学解题中的应用 孙 珍 (安康学院，陕西 安康 725000) [摘 要】数学思想是对数学知识内容和所使用方法的本质认识，是数学知识在更高层次的抽象概括和提炼，数学思想支配着 数学的实践活动．本文结合具体的例子，从四个方面阐述了常用的数学思想在大学数学解题 中的应用。 【关键词】大学数 学 数学思想 解题应用 一、 引言 数学思想是对数学的知识内容和所使用的方法的本质认 识。它是从某些具体数学认识过程中提炼和概括 ，而在后继的 认识 活动中被反复证实 其正确性 ，带有 一般意义 和相 对稳定 的 特征 ，是对数 学规律 的理...

    文档格式：PDF | 页数：2 | 浏览次数：478 | 上传日期：2016-05-12 21:07:58 | 文档星级：
    课外阅读 高等188宝金博页面版 数学思想在大学数学解题中的应用 孙 珍 (安康学院，陕西 安康 725000) [摘 要】数学思想是对数学知识内容和所使用方法的本质认识，是数学知识在更高层次的抽象概括和提炼，数学思想支配着 数学的实践活动．本文结合具体的例子，从四个方面阐述了常用的数学思想在大学数学解题 中的应用。 【关键词】大学数 学 数学思想 解题应用 一、 引言 数学思想是对数学的知识内容和所使用的方法的本质认 识。它是从某些具体数学认识过程中提炼和概括 ，而在后继的 认识 活动中被反复证实 其正确性 ，带有 一般意义 和相 对稳定 的 特征 ，是对数 学规律 的理性认 识 ，数学思想 直接支配着数 学 的 实践活动。 二 大学数学解题中常用的几种方法 在数学学习 中常用 的数学 思想方法大致有下 面几类 ：一般 与特殊思想 、转化思想、函数思想、数形结合思想等。只要我 们善于分析归纳，灵活利用数学思想解题 ，定会起到事半功倍 的作用。下面结合几个具体的例子说明数学思想在大学数学解 题中的应 用。 1．特殊 化思想 特殊 化思想的意义在于 当研究 的对象 比较复杂时 ，通 过对 其特殊情况的研究 ，将会使我们对研究的对象有个初步了解， 并且帮助我们熟 悉所面临 的问题 的类型 ，这对 于进一步处 理以 至最 终解决这个 问题 有很大好处 。另外 ，事物 的共 性存在 于个 性 之 中 。对个别 的特 殊情 况 的讨 论 ，常常 可 以凸 现问题 的关 键 ，从而揭示m问题的本质。只要我们寻找到题 目蕴涵的特殊 和一般之问的联系，运用特殊化思想能起到事半功倍的效果。 例1将 角形每边分成i等份，将每个分点跟 角形的对 顶相连，这六条线构成一个六边形 ，求证它的 双对顶的连线 共点 。 分析 ：该题 目直接证明复杂 ，而欧 氏几 何是仿射几何 的子 几何 ，可以用仿射观点研究一些欧氏几何命题。仿射变换保留 点线的结合性，很多一般形状的图形都可以由特殊图形仿射变 换得到。所以对于只涉及点线的有关数学问题，我们可以利用 从特殊 到一般 的思想 ，只就特殊 问题证 明 ，一般 问题 的结论 自 然就成立 。因为任何 角形 可以 由正 i角形经仿射变换 而得 ， 因此只就正 角形证 明即可 ，对正 角形来说结论显然 。 2．转 化 思 想 数学方法论 中所论及 的转化是指把待解决或未解决的问 题 ，通过某种转 化过程 ，归结 到一类 已经 能解 决或者解决 比较 容易解决 的问题中去 ，最终求 获原问题之解 答的一种手段 和方 法。该方法在解题中被广泛用到。大学数学的学习中我们经常 利用该方法 ，比如将多元 函数的微分和积分 相关问题转化 为一 元函数的微分和积分等。 例2计算二重积分 J j 一 ，其中D是由曲线 二 和直 线 ，= 所 同成 的闭 区域 。 分析 ：除了直角坐标系外 ，常用 的另一种坐标系是极 坐标 系。有些问题在直角坐标系下考虑或计算较为烦琐时，往往考 虑使用极坐标系。本例使用极坐标系可将积分区域变得相对简 单，便于积分。在处理此类二重积分时这是经常要用的手段。 f 0≤r≤2cos0 解：将积分区域D化为极坐标 ，有l 专 盯 ： “： 。： s ： 一 一。)_ 【 8(sin0- 。 ．．．÷ ： √2) 3．函 数 思 想 函数的思想是用运动和变化的观点，集合与对应的思想， 去分 析和研究数学 问题 中的数量关 系 ，建立函数关系或构造 函 数 ，运用函数的图象和性质去分析问题转化问题，从而使问题 获得解决。对于一些常见的实际问题的处理我们需要转化为数 学问题 ，分析变量之间的联系，要构造函数，利用相关函数的 思想借助导数等相关定理解决 问题 。 例3某车间靠墙壁要盖一问面积为64平方米的小屋 ，现有 存砖只够砌24米长的墙壁。问这些存砖是否足够同成小屋? 解：设小屋宽为 ，则按要求小屋长为 ，所砌墙长为 ， 则有：，-2x+ 加)．现在需讨论，要靠一墙壁盖一间符合要求的 小屋 ，应砌砖墙的最短长度如何 。 即 当 小 屋 宽 为 √2(m)时 ， 砖 墙 最 短 ，最 短 砖 墙 为 ： ，：8 + 16 <I6 l 5：24 。 442 而所存砖够砌 24米长 的墙 ，所 以存砖够罔成小屋 。 4．数形结合的思想 数形结合的思想就是把问题中的数量关系与相应的图形结 合起来 ，由数的性质得到相应 图形的性质 ，或 由图形的特征得 相应 的数量关 系，从 而解决 问题 ．在大学数学 的解题 中 ，根据 题中 “数”的结构特征，构造m与之相应的几何图形 ，并利用 图形的特征规律来研究解决问题 ，可以化抽象为直观，易于显 露 问题 的内在联 系。 例4计算曲线积分￡( y)dx+xy ，L是上半网周：x2+y2 ， Y > -0， 方 向从 B( )到 ( 0)。 J 一 A(-a，o) 0 B(a，0) 1 分 析 ：若对该 曲线直 接积分 ，计算较为麻烦 。根据 图形 的 几何特征 ，转化为闭曲线计算要简单 的多 。 · 7 。

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