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    188宝金博页面版: 多动点问题的求解方法

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    内容提示： 2010年第11期 中学数学月刊·31·多动点问题的求解方法刘文生 (湖南省长沙市中南大学附属实验中学410083)求解解析几何问题，很多困难源于问题中太多的可动点．当我们引入动点坐标使多个动点之间的关系坐标化之后，如何合理运用各动点之间的关系，同学们往往缺乏思路，常常导致运算混乱，因此解决此类问题的能力也很难有较大的提高．实际上，求解多动点问题，关键是如何合理设计代数运算，有效避免运算混乱．本文将从六个方面探究多动点问题的求解方法，希望能帮助同学们不断积累解题经验，在问题探索与解法反思中不断提高解题能力．1合理引入参数，轻巧解决多点共线问题一2．．2 ．．例1已知...

    文档格式：PDF | 页数：3 | 浏览次数：36 | 上传日期：2020-09-09 22:40:43 | 文档星级：
    2010年第11期 中学数学月刊·31·多动点问题的求解方法刘文生 (湖南省长沙市中南大学附属实验中学410083)求解解析几何问题，很多困难源于问题中太多的可动点．当我们引入动点坐标使多个动点之间的关系坐标化之后，如何合理运用各动点之间的关系，同学们往往缺乏思路，常常导致运算混乱，因此解决此类问题的能力也很难有较大的提高．实际上，求解多动点问题，关键是如何合理设计代数运算，有效避免运算混乱．本文将从六个方面探究多动点问题的求解方法，希望能帮助同学们不断积累解题经验，在问题探索与解法反思中不断提高解题能力．1合理引入参数，轻巧解决多点共线问题一2．．2 ．．例1已知椭圆轰+彘一1，直线z：琵．27+蚩=1，P是直线上一点，射线OP交椭圆于点R，又点Q在0P上且满足1∞I I()P I—I(柬l 2．当P在z上移动时，求点Q的轨迹方程．解 可设o--i5一m茄，硪一咒砸，由|∞I·I OP I—I OR 2，可得m一咒2．设Q(x，了)，则有P(mx，my)，R(船，ny)，分别代入已知直线和椭圆的方程，得等+等f＼／一 淼一＼、之 —／／＼j图1—1和1n2xr2+等=1，即矗+詈一矛]利X甄2十诱2=嘉，所以轰2+蔫一磊+蚩，化简得点Q的轨迹方程：2x2+3y2—4x一6y一0．点评 多点共线时，通过引入参数适当简化一些点的坐标，代入相关方程后合理消去参数，求·+--4"--+—+-+-—卜-+-+得问题的解决．上面的解法避开直接引入点P与点R的坐标，求解过程十分简洁．2合理挖掘方程(式)的几何意义。巧用设而不求法例2 过圆外一点P(a，6)引圆z2+y2一R2的两条切线，切点为A，B，求直线AB的方程．解法1设切点A(z1，Y1)，B(x2，Y2)，则切线PA的方程：z。z+yly=R2，切线PB的方程：z2z+y2y—R2．将点P(a，6)的坐标代入，得船。+by，=R2①，船2+by z=R2．②可得两点A(z-，Y-)，B(xz，Y：)都是直线船+by—R2③上的点．所以直线AB的方程为nz+by=R2．解法2 易知o，A，P，B四点共圆．此圆方程为(z一号)z+(y一告)z一生丢堡(或写成z(z一口)+Y(Y一6)=O)，化简可得z2+Y2一甜一by一0．将z2+y2一R2—0与z2+y2一衄一by一0相减，得(z2+y2一R2)一(z2+y2一船一by)一0，即眦+by=R2．因为点A(z，，y。)，B(x。，Y：)是两圆的公共点，有船1+by，一R2，甜2+by：=R2，所以直线AB的方程为口z+by—R2．点评 很多典型的代数式、方程式往往有明确的几何意义，解题时要留心观察细心体会．上面这两种解法都没有求出点A，B的坐标，而是体会到方程①②③的几何意义，直接获得直线方程．两种解法都十分简洁，妙在“设而不求”，非常优美!解 设两个切点分别为P，(z，，y，)，P：(z：，Y2)，则切线方程为：lpp，：缸1-4-byl一r2，zPP。：a．Tc 2+by：=r2．可见P1(z1，y1)，P2(z2，y2)都满足方程aT．+by=rz，由直线方程的定义得：a37+by一产即为经过两个切点的直线方程．从上述所举例题中可以看到，简化圆锥曲线问题中运算的方法并不是孤立的，我们在教学过程中，要注重培养学生解题时的观察联想能力和优化比较意识，这是在解决问题时快速选择恰当方法的根本．万方数据

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