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    188宝金博页面版: 高中数学　数列不等式的证明（附答案解析）全国一轮数学（提高版）

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    内容提示： 微专题 数列不等式的证明放缩后裂项例 1 已知数列{a n }中，a 1 ＝1，其前 n 项和为 S n ，且当 n≥2 时，满足 a n ＝S 2 nS n －1 .(1) 求证：数列1S n 是等差数列；【解答】 当 n≥2 时，S n －S n － 1 ＝S 2 nS n －1 ，即 Sn － 1 －S n ＝S n S n － 1 ，即1S n －1S n － 1 ＝1，从而1S n是以 1 为首项，1 为公差的等差数列．(2) 求证：S 2 1 ＋S 2 2 ＋…＋S 2 n ＜ 74 .【解答】 由(1)可知，1S n ＝1S 1 ＋(n－1)×1＝n，所以 Sn ＝ 1n .方法一：当 n≥2 时，S 2 n ＝1n 2 ＜1n 2 －1 ＝121n－1 －1n＋1 ，所以 S 2 1 ＋S 2 2 ＋…＋S 2 n ＜1＋ 121－ 13＋ 1212 －14 ＋…＋ 121n－1 －1n＋1 ＝1＋ 121＋ 12 －1n －1n＋1 ＜1＋ 12 ×32 ＝74 .又当 n＝1 时，S21 ＝1＜ 74 ，满足题意，故 S21 ＋S 2 2 ＋…＋S...

    文档格式：PDF | 页数：6 | 浏览次数：9 | 上传日期：2025-07-27 16:41:55 | 文档星级：
    微专题 数列不等式的证明放缩后裂项例 1 已知数列{a n }中，a 1 ＝1，其前 n 项和为 S n ，且当 n≥2 时，满足 a n ＝S 2 nS n －1 .(1) 求证：数列1S n 是等差数列；【解答】 当 n≥2 时，S n －S n － 1 ＝S 2 nS n －1 ，即 Sn － 1 －S n ＝S n S n － 1 ，即1S n －1S n － 1 ＝1，从而1S n是以 1 为首项，1 为公差的等差数列．(2) 求证：S 2 1 ＋S 2 2 ＋…＋S 2 n ＜ 74 .【解答】 由(1)可知，1S n ＝1S 1 ＋(n－1)×1＝n，所以 Sn ＝ 1n .方法一：当 n≥2 时，S 2 n ＝1n 2 ＜1n 2 －1 ＝121n－1 －1n＋1 ，所以 S 2 1 ＋S 2 2 ＋…＋S 2 n ＜1＋ 121－ 13＋ 1212 －14 ＋…＋ 121n－1 －1n＋1 ＝1＋ 121＋ 12 －1n －1n＋1 ＜1＋ 12 ×32 ＝74 .又当 n＝1 时，S21 ＝1＜ 74 ，满足题意，故 S21 ＋S 2 2 ＋…＋S 2 n ＜ 74 .方法二：当 n≥2 时，S 2 n ＝1n 2 ＜1n 2 －n ＝1n－1 －1n ，那么 n≥3 时，S21 ＋S 2 2 ＋…＋S 2 n ＜1＋ 14 ＋12 －13 ＋13 －14 ＋…＋1n－1 －1n ＝74 －1n ＜74 .又当 n＝1 时，S21 ＝1＜ 74 ，当 n＝2 时，S21 ＋S 2 2 ＝ 54＜ 74 ，满足题意，故 S21 ＋S 2 2 ＋…＋S 2 n ＜ 74 .常见的放缩形式(1)1n 2 ＜1(n－1)n (n≥2)，1n 2 ＞1n(n＋1) ，1n 2 ＝44n 2 ＜44n 2 －1 ＝212n－1 －12n＋1 ；(2)1n ＜2n－1＋ n (n≥2)，1n ＞2n＋ n＋1 ；(3)12 n －1 ＜2 n-1(2 n-1 －1)(2 n －1) ＝12 n-1 －1 －12 n －1 (n≥2).变式 1 已知函数 f(x)＝x 2 －2x，数列{a n }的前 n 项和为 S n ，点 P n (n，S n )均在函数 y＝f(x)的图象上，若 b n ＝ 12 (an ＋3).

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