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    188宝金博页面版: 高中数学　隐形圆（附答案解析）全国一轮数学（提高版）

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    内容提示： 微专题 隐形圆有些时候，在题干中没有直接给出圆方面的信息，要通过分析和转化发现圆(或圆的方程)，从而最终可以利用圆的知识来求解，我们称这类问题为“隐形圆”问题．|PA|＝λ型例 1 已知 A，B 为圆 O：x 2 ＋y 2 ＝4 上的两动点，|AB|＝2 3，P 是圆 C：(x＋3) 2 ＋(y－4) 2 ＝1 上的一点，则|PA→ ＋PB → |的最大值是(C )A. 10 B. 12C. 14 D. 16【解析】 设 M 是 AB 的中点，则PA→ ＋PB → ＝2PM →，于是|PA→ ＋PB → |＝2|PM →|.由于|AB|＝2 3，则由垂径定理得|OM|＝ 4－3＝1，于是点 M 在以 O 为圆心，1 为半径的圆上．又|PO| max ＝|OC|＋1＝ 3 2 ＋4 2 ＋1＝6，故|PM| max ＝|PO| max ＋1＝6＋1＝7，因此|PA→ ＋PB → |max ＝2×7＝14.变式 1 ...

    文档格式：PDF | 页数：9 | 浏览次数：24 | 上传日期：2025-07-28 20:23:50 | 文档星级：
    微专题 隐形圆有些时候，在题干中没有直接给出圆方面的信息，要通过分析和转化发现圆(或圆的方程)，从而最终可以利用圆的知识来求解，我们称这类问题为“隐形圆”问题．|PA|＝λ型例 1 已知 A，B 为圆 O：x 2 ＋y 2 ＝4 上的两动点，|AB|＝2 3，P 是圆 C：(x＋3) 2 ＋(y－4) 2 ＝1 上的一点，则|PA→ ＋PB → |的最大值是(C )A. 10 B. 12C. 14 D. 16【解析】 设 M 是 AB 的中点，则PA→ ＋PB → ＝2PM →，于是|PA→ ＋PB → |＝2|PM →|.由于|AB|＝2 3，则由垂径定理得|OM|＝ 4－3＝1，于是点 M 在以 O 为圆心，1 为半径的圆上．又|PO| max ＝|OC|＋1＝ 3 2 ＋4 2 ＋1＝6，故|PM| max ＝|PO| max ＋1＝6＋1＝7，因此|PA→ ＋PB → |max ＝2×7＝14.变式 1 如果圆(x－2a) 2 ＋(y－a－3) 2 ＝4 上总存在两个点到原点的距离为 1，则实数 a的取值范围为_－ 65 ，0 _.【解析】 原问题转化为圆(x－2a) 2 ＋(y－a－3) 2 ＝4 与圆 x 2 ＋y 2 ＝1 有两个交点，由两圆相交的条件可知 1＜ (2a) 2 ＋(a＋3) 2 ＜3，解得 a∈－ 65 ，0 .|PA|＝λ|PB|型例 2 (多选)古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点 A，B 的距离之比为定值λ(λ≠1)的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系 xOy 中，A(－2，0)，B(4，0)，点 P 满足 |PA||PB| ＝12 .设点 P 的轨迹为 C，则下列说法正确的是(ABD )A. 轨迹 C 的方程为(x＋4) 2 ＋y 2 ＝16B. 在 x 轴上存在异于 A，B 的两点 D，E，使得 |PD||PE| ＝12C. 在 C 上存在点 M，使得|MO|＝2|MA|D. 当 A，B，P 三点不共线时，射线 PO 是∠APB 的角平分线【解析】 对于 A，设 P(x，y)，由 |PA||PB| ＝12 ，得(x＋2) 2 ＋y 2(x－4) 2 ＋y 2 ＝12 ，化简得(x＋4)2 ＋y 2 ＝16，故 A 正确；对于 B，假设在 x 轴上存在异于 A，B 的两点 D，E，使得 |PD||PE| ＝12 ，设 D(m，0)，E(n，0)，则(x－m) 2 ＋y 2(x－n) 2 ＋y 2＝ 12 ，化简得 3x2 ＋3y 2 －(8m－2n)x＋4m 2 －n 2 ＝0，因为(x＋4) 2 ＋y 2＝16，所以 3x 2 ＋3y 2 ＋24x＝0，因此8m－2n＝－24，4m 2 －n 2 ＝0，解得m＝－6，n＝－12或m＝－2，n＝4(舍

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