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    188宝金博页面版: 高中数学　正弦定理与余弦定理（附答案解析）全国一轮数学（提高版）

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    内容提示： 正弦定理与余弦定理举题说法正、余弦定理的直接应用例 1 (2022·全国乙卷)记△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 sin C sin(A－B)＝sin B sin (C－A).(1) 求证：2a 2 ＝b 2 ＋c 2 ；【解答】由题知 sin C sin (A－B)＝sin B sin (C－A)可化简为 sin C sin A cos B－sin C cos Asin B＝sin B sin C cos A－sin B cos C sin A，由正弦定理可得 ac cos B－bc cos A＝bc cos A－abcos C，即 ac cos B＝2bc cos A－ab cos C，由余弦定理可得 ac a2 ＋c 2 －b 22ac＝2bc b2 ＋c 2 －a 22bc－ab a2 ＋b 2 －c 22ab，整理得 2a 2 ＝b 2 ＋c 2 ，得证．(2) 若 a＝5，cos A＝ 2531 ，求△ABC 的周长．【解答】由(1)可知 b 2 ＋c 2 ＝2a 2 ＝50，cos A...

    文档格式：PDF | 页数：10 | 浏览次数：12 | 上传日期：2025-07-28 20:23:52 | 文档星级：
    正弦定理与余弦定理举题说法正、余弦定理的直接应用例 1 (2022·全国乙卷)记△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 sin C sin(A－B)＝sin B sin (C－A).(1) 求证：2a 2 ＝b 2 ＋c 2 ；【解答】由题知 sin C sin (A－B)＝sin B sin (C－A)可化简为 sin C sin A cos B－sin C cos Asin B＝sin B sin C cos A－sin B cos C sin A，由正弦定理可得 ac cos B－bc cos A＝bc cos A－abcos C，即 ac cos B＝2bc cos A－ab cos C，由余弦定理可得 ac a2 ＋c 2 －b 22ac＝2bc b2 ＋c 2 －a 22bc－ab a2 ＋b 2 －c 22ab，整理得 2a 2 ＝b 2 ＋c 2 ，得证．(2) 若 a＝5，cos A＝ 2531 ，求△ABC 的周长．【解答】由(1)可知 b 2 ＋c 2 ＝2a 2 ＝50，cos A＝ b2 ＋c 2 －a 22bc＝ 50－252bc＝252bc ＝2531 ，所以 2bc＝31.因为 b 2 ＋c 2 ＋2bc＝(b＋c) 2 ＝81，所以 b＋c＝9，所以 a＋b＋c＝14，所以△ABC 的周长为 14.在解三角形中，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理．以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．变式 1-1 (2024·新高考Ⅰ卷)已知△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，sin C＝ 2cos B，a 2 ＋b 2 －c 2 ＝ 2ab.(1) 求角 B 的大。弧窘獯稹 由题知 cos C＝ a2 ＋b 2 －c 22ab＝2ab2ab＝22，因为 C∈(0，π)，所以 C＝ π4 .因为 sin C＝ 2cos B，所以 cos B＝ 12 ，又 B∈(0，π)，所以 B＝π3 .(2) 若△ABC 的面积为 3＋ 3，求 c.【解答】 由(1)可得 B＝ π3 ，C＝π4 ，则 A＝π－π3 －π4 ＝5π12 ，所以 sin A＝sin5π12 ＝sinπ4 ＋π6＝22×32＋22× 12 ＝6＋ 24.由正弦定理有asin5π12＝bsinπ3＝csinπ4，从而 a＝6＋ 24· 2c＝3＋12c，b＝32· 2c＝62c，S △ ABC ＝ 12 ab sin C＝12 ·3＋12c·62c·22＝ 3＋ 38c 2 ＝3＋ 3，所以 c

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