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188宝金博页面版: 高中数学 函数的对称性(附答案解析)全国一轮数学(提高版)

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内容提示: 高考数学函数的对称性轴对称探究 1 一个函数的自对称例 1-1 已知函数 f(x-1)为偶函数,且函数 f(x)在[-1,+∞)上单调递增,则关于 x 的不等式 f(1-2 x )<f(-7)的解集为( A )A. (-∞,3) B. (3,+∞)C. (-∞,2) D. (2,+∞)【解析】 因为 f(x-1)为偶函数,所以 f(x-1)的图象关于 y 轴对称,则 f(x)的图象关于直线 x=-1 对称.因为 f(x)在[-1,+∞)上单调递增,所以 f(x)在(-∞,-1]上单调递减.因为 f(1-2 x )<f(-7)=f(5),所以-7<1-2 x <5,解得 x<3.若函数 y=f(x)满足 f(a+x)=f(a-x)或 f(x)=f(2a-x),则函数 y=f(x)的图象关于直线 x=a 对称.特别地,当 a=0 时,f(x)=f(-x),则函数 y=f(x)的图象关于 y 轴对称,函数为偶函数.推广:若函数 y...

文档格式:PDF | 页数:8 | 浏览次数:32 | 上传日期:2025-07-27 16:41:39 | 文档星级:
高考数学函数的对称性轴对称探究 1 一个函数的自对称例 1-1 已知函数 f(x-1)为偶函数,且函数 f(x)在[-1,+∞)上单调递增,则关于 x 的不等式 f(1-2 x )<f(-7)的解集为( A )A. (-∞,3) B. (3,+∞)C. (-∞,2) D. (2,+∞)【解析】 因为 f(x-1)为偶函数,所以 f(x-1)的图象关于 y 轴对称,则 f(x)的图象关于直线 x=-1 对称.因为 f(x)在[-1,+∞)上单调递增,所以 f(x)在(-∞,-1]上单调递减.因为 f(1-2 x )<f(-7)=f(5),所以-7<1-2 x <5,解得 x<3.若函数 y=f(x)满足 f(a+x)=f(a-x)或 f(x)=f(2a-x),则函数 y=f(x)的图象关于直线 x=a 对称.特别地,当 a=0 时,f(x)=f(-x),则函数 y=f(x)的图象关于 y 轴对称,函数为偶函数.推广:若函数 y=f(x)满足 f(a+x)=f(b-x),则函数 y=f(x)的图象关于直线 x= a+b2对称.变式 1-1 (2024·萍乡期末)已知定义在 R 上的函数 f(x)在(-∞,2]上单调递增,若函数f(x+2)为偶函数,且 f(3)=0,则不等式 xf(x)>0 的解集为( B )A. (0,3)B. (-∞,0)∪(1,3)C. (-∞,0)∪(3,+∞)D. (0,1)∪(3,+∞)【解析】由函数 f(x+2)为偶函数,可知函数 f(x)的图象关于 x=2 对称.又函数 f(x)在(-∞,2]上单调递增,故函数 f(x)在(2,+∞)上单调递减.由 f(3)=0,知 f(1)=0,作出函数 f(x)的大致图象如图所示.由图可知,当 x<0 时,由 xf(x)>0,可得 f(x)<0,则 x<0;当 x>0时,由 xf(x)>0,可得 f(x)>0,则 1<x<3.综上,不等式 xf(x)>0 的解集为(-∞,0)∪(1,3).(变式 1-1 答)探究 2 两个函数的互对称例 1-2 (2024·平顶山联考)下列函数中,其图象与函数 y=log 2 x 的图象关于直线 x=2

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