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188宝金博页面版: [精品]大角度单摆运动问题的计算机模拟

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内容提示: 1引言2任意角度单摆问题的研究2.1 相空间轨迹的分析2. 2 单摆运动周期与最大摆角的关系单摆模型是一个形状、 大小都可以看成质点的小球系在不计伸长和质量的摆线上的理想模型。 它是处理摆动问题中必不可少的模型, 作为一种经典物理模型, 已在大多大学物理教材中有涉及。在现在通行的理论力学教材 中, 在处理单摆模型时只讨论了小角度摆动时的近似运动状况, 当单摆做大摆角运动时, 运动微分方程为非线性方程, 由于计算上的困难没有涉及。 许多文献已对大摆角单摆运动进行研究, 文献[ 2]提出利用抛物线法对大摆角运动周期进行了近似研究;文献[ 3]通过使用加权平均法得出近似...

文档格式:PDF | 页数:2 | 浏览次数:33 | 上传日期:2015-03-09 03:44:46 | 文档星级:
1引言2任意角度单摆问题的研究2.1 相空间轨迹的分析2. 2 单摆运动周期与最大摆角的关系单摆模型是一个形状、 大小都可以看成质点的小球系在不计伸长和质量的摆线上的理想模型。 它是处理摆动问题中必不可少的模型, 作为一种经典物理模型, 已在大多大学物理教材中有涉及。在现在通行的理论力学教材 中, 在处理单摆模型时只讨论了小角度摆动时的近似运动状况, 当单摆做大摆角运动时, 运动微分方程为非线性方程, 由于计算上的困难没有涉及。 许多文献已对大摆角单摆运动进行研究, 文献[ 2]提出利用抛物线法对大摆角运动周期进行了近似研究;文献[ 3]通过使用加权平均法得出近似结果; 文献[ 4]通过“局部常化” 的近似处理方法对微分方程进行修正得出近似计算公式; 文献[ 5]利用线性插值的方法, 提出了一个任意摆角条件下的运动周期的近似公式。以上的文献都是近似情况下的研究, 其求解的精确度在全局下未必能够得到保证。 学过常微分方程我们知道,对于高阶的常微分方程, 可以降价为一阶微分方程组, 进而可以使用数值分析中的相关理论得到较为精确的数值解。 因此可以使用以上的方法对大摆角运动进行精确的求解。 本文将在以下几个方面对任意角度单摆问题进行研究: 分析相空间轨迹随能量的变化; 研究单摆运动周期与最大摆角的关系。在分析力学 的课程我们已经知道, 可以用广义坐标和广义动量来描述力学系统的运动, 所有的广义坐标和广义动量组成系统的相空间。 对于上述问题来说, 系统的自 由度为1, 可以选用广义坐标和相应的广义动量来描写单摆的运动。 单摆在某一时刻的状态用和来表示, 或者说用摆运动在相空间上代表点随时间变化, 从而描出一条曲线相空间中的一个点表示。 随着时间的推移, 单称为相轨迹。 下面由分析力学中的理论推导和的关系:系统的动能:, 以小球最低点为势能零点, 系统的势能:, 则拉格朗日函数:, 则广义动量:。由于系统是保守系统且为稳定约束, 则系统哈密顿函数:, 所以可得出:为了计算和表达上的方便, 从现在开始令。设置E 为不同值时观察相轨迹的变化, 用M a tla b作出部分轨迹作图, 如图1所示。从图中可以看出 , 相轨迹随能量的变化分为三种情况: 当E 较小时, 相轨迹为椭圆, 当E 为某一特定值时, 单摆的运动具有不确定性, 当E 较大时, 相轨迹是两条不相交的曲线, 这和理论力学中有心力场中能量对轨道的影响具有一定的相似性, 值得进一步研究。我们知道单摆的运动微分方程为:——(式1)文献[ 7 ]从相图的角度得出单摆运动周期的精确解为:——(式2)[ 1][ 6 ]图1 不同能量下的相轨迹图大角度单摆运动问题的计算机模拟陶利(中国矿业大学理学院, 江苏 徐州 221008)摘要: 文章利用常微分方程中常微分方程和计算方法的相关理论, 用M a tla b对单摆的非线性运动微分方程进行了数值求解, 分析不同能量下的单摆的相空间轨迹, 求解了最大摆角与周期之间的关系, 并对已有文献中提出的一些近似周期公式进行了精确度的比较分析。关键词: 单摆运动; 任意摆角; M a tla bD O I: 10. 3969/ j. issn. 1671- 6396. 2010. 08. 018收稿日期:修回日期:作者简介:2010-02-072010-03-08陶利(1989-) , 男, 汉族, 江苏南京籍, 本科。21()2Tml??中国西部科技2010年03月 (中旬) 第09卷第08期第205期总42

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