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    188宝金博页面版: 三次数学危机

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    内容提示： 三次数学危机 第一次： 无理数的产生导致“万物皆数” 信仰的崩溃 第二次： 十七、 十八世纪关于微积分发生的激烈的争论 的三次： 与集合论相关的悖论导致数学大厦的动摇 数学史海览胜－－第一次数学危机 从哲学上来看， 矛盾是无处不存在的， 即便以确定无疑著称的数学也不例外。 数学中有大大小小的许多矛盾， 例如正与负、 加与减、 微分与积分、 有理数与无理数、 实数与虚数等等。 在整个数学发展过程中， 还有许多深刻的矛盾， 例如有穷与无穷、 连续与离散、 存在与构造、 逻辑与直观、 具体对象与抽象对象、 概念与计算等等。 在数学史上， 贯穿着矛盾的...

    文档格式：DOC | 页数：4 | 浏览次数：37 | 上传日期：2012-05-26 09:47:13 | 文档星级：
    三次数学危机 第一次： 无理数的产生导致“万物皆数” 信仰的崩溃 第二次： 十七、 十八世纪关于微积分发生的激烈的争论 的三次： 与集合论相关的悖论导致数学大厦的动摇 数学史海览胜－－第一次数学危机 从哲学上来看， 矛盾是无处不存在的， 即便以确定无疑著称的数学也不例外。 数学中有大大小小的许多矛盾， 例如正与负、 加与减、 微分与积分、 有理数与无理数、 实数与虚数等等。 在整个数学发展过程中， 还有许多深刻的矛盾， 例如有穷与无穷、 连续与离散、 存在与构造、 逻辑与直观、 具体对象与抽象对象、 概念与计算等等。 在数学史上， 贯穿着矛盾的斗争与解决。 当矛盾激化到涉及整个数学的基础时， 就会产生数学危机。而危机的解决， 往往能给数学带来新的内容、 新的发展， 甚至引起革命性的变革。 数学的发展就经历过三次关于基础理论的危机。 第一次数学危机 从某种意义上来讲， 现代意义下的数学， 也就是作为演绎系统的纯粹数学， 来源予古希腊毕达哥拉斯学派。 它是一个唯心主义学派， 兴旺的时期为公元前 500 年左右。 他们认为， “万物皆数”(指整数)，数学的知识是可靠的、 准确的， 而且可以应用于现实的世界， 数学的知识由于纯粹的思维而获得， 不需要观察、 直觉和日常经验。 整数是在对于对象的有限整合进行计算的过程中产生的抽象概念。 日常生活中， 不仅要计算单个的对象， 还要度量各种量， 例如长度、 重量和时间。 为了满足这些简单的度量需要， 就要用到分数。 于是，如果定义有理数为两个整数的商， 那么由于有理数系包括所有的整数和分数， 所以对于进行实际量度是足够的。 有理数有一种简单的几何解释。 在一条水平直线上， 标出一段线段作为单位长， 如果令它的定端点和右端点分别表示数 0 和 1 ， 则可用这条直线上的间隔为单位长的点的集合来表示整数， 正整数在 0 的右边， 负整数在 0 的左边。 以 q 为分母的分数， 可以用每一单位间隔分为 q 等分的点表示。 于是， 每一个有理数都对应着直线上的一个点。 古代数学家认为， 这样能把直线上所有的点用完。 但是， 毕氏学派大约在公元前 400 年发现： 直线上存在不对应任何有理数的点。 特别是， 他们证明了： 这条直线上存在点 p 不对应于有理数， 这里距离op 等于边长为单位长的正方形的对角线。 于是就必须发明新的数对应这样的点， 并且因为这些数不可能是有理数， 只好称它们为无理数。 无理数的发现， 是毕氏学派的最伟大成就之一， 也是数学史上的重要里程碑。 无理数的发现， 引起了第一次数学危机。 首先， 对于全部依靠整数的毕氏哲学， 这是一次致命的打击。其次， 无理数看来与常识似乎相矛盾。 在几何上的对应情况同样也是令人惊讶的， 因为与直观相反， 存在不可通约的线段， 即没有公共的量度单位的线段。 由于毕氏学派关于比例定义假定了任何两个同类量是可通约的， 所以毕氏学派比例理论中的所有命题都局限在可通约的量上， 这样， 他们的关于相似形的一般理论也失效了。 “逻辑上的矛盾”是如此之大， 以致于有一段时间， 他们费了很大的精力将此事保密， 不准外传。 但是人们很快发现不可通约性并不是罕见的现象。 泰奥多勒斯指出， 面积等于 3、 5、 6、 ……1 7 的正方形的边与单位正方形的边也不可通约， 并对每一种情况都单独予以了证明。 随着时间的推移， 无理数的存在逐渐成为人所共知的事实。 诱发第一次数学危机的一个间接因素是之后“芝诺悖论”的出现， 它更增加了数学家们的担忧： 数学作为一门精确的科学是否还有可能？ 宇宙的和谐性是否还存在？ 在大约公元前 370 年， 这个矛盾被毕氏学派的欧多克斯通过给比例下新定义的方法解决了。 他的处理不可通约量的方法， 出现在欧几里得《原本》 第 5 卷中， 并且和狄德金于 1 872 年绘出的无理数的现代解释基本一致。 今天中学几何课本中对相似三角形的处理， 仍然反映出由不可通约量而带来的某些困难和微炒之处。 第一次数学危机表明， 几何学的某些真理与算术无关， 几何量不能完全由整数及其比来表示。 反之，数却可以由几何量表示出来。 整数的尊祟地位受到挑战， 古希腊的数学观点受到极大的冲击。 于是， 几何学开始在希腊数学中占有特殊地位。 同时也反映出， 直觉和经验不一定靠得。 而推理证明才是可靠

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