·3 3 0 ·中国信息化 188宝金博页面版信息1 引言双线性系统是一类重要的非线性系统。它可以描述工程、经济、生物、生态和化学等过程中的许多现象，具有一定的实际背景。因此对双线性系统的研究将会具有很大的实际价值和理论意义。一方面，双线性系统形式上很接近于线性系统，有利于运用经典线性系统理论去研究；另一方面，由于双线性系统出现了双线性项，因而它的研究又要比线性系统困难许多，有待于人们进一步研究。耗散性理论在系统稳定性研究中起着重要作用，而无源性则是耗散性的一个重要方面，很多学者已做了大量的工作，C.B.Feng等讨论了非线性系统的无源性；L.Yu, C.N.Li与M.S.Mahmoud等讨论了不确定线性系统的鲁棒无源控制问题；X.Z.Dong等讨论了离散广义系统的无源控制问题，但关于不确定双线性广义系统无源控制的研究结果还很少。本文研究不确定广义双线性系统的稳定性和无源控制问题，首先将严格无源的概念引入到离散双线性广义时滞系统中，然后利用线性矩阵不等式给出不确定广义双线性系统广义二次稳定和严格无源的充分条件，并且存在一个状态反馈控制器，使得闭环系统是广义二次稳定且严格无源的。2 问题描述考虑如下形式的离散双线性广义时滞系统 1( 1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ), [ ,0]mi iiEx k A A x k A x k N x k u k Bu kz k Cx k Du kx k k k??? ??? ? ?? ? ? ? ?? ?? ? ??(1) ( )nx k R ? 是状态向量， ( )pz k R ? 是输出向量， ( )pu k R ? 是外部输入， , , , , , , 1,...,iA A B C D N i m?? 是常数矩阵。 1( ) , ( ) ( ( ),..., ( ))mrank E r n u k u k u k?? ? ? , A ?为不确定的实矩阵，且具有如下形式： aA MFN ? ? ， ,aM N 是有合适维数的定常矩阵， F 满足 F F I??的不确定矩阵。首先给出定义，考虑如下离散广义系统 ( 1) ( ) ( ) ( ) Ex k A A x k A x k?? ? ? ?? ? ? (2)定义1 离散广义系统（2）是容许的，若它是正则，因果且稳定的。定义2 离散广义系统（1）称为是严格无源的，若存在一个非负函数 ( ( )) 0 V x k ? ，使得无源不等式 ( ( 1)) ( ( )) ( ) ( ), 0 V V x k V x k z k u k k?? ? ? ? ? ? ?对一切输入 u 成立。引理 1如果存在可逆对称矩阵 P 和正定矩阵 Q ，使得以下矩阵不等式同时成立 0( ) ( ) ( )0( )E PEA A P A A E PE Q A A PAA P A A A PA Q?? ? ??? ? ?? ??? ? ?? ?? ? ? ???? ??? ?? ? （3）则系统（2）是广义二次稳定的。3 主要结果定理1 对于系统（1），如果存在可逆对称矩阵 P 和正定矩阵 Q ，使得不等式 0 E PE?? （4） 11max10( ( ))a aA PA E PE Q A PA A PN A PB C A PMA PA A PA Q A PN A PB A PMN PA N PA N PN N PB N PMB PA C B PA B PN B PMM PA M PA M PN M PB IM PM N ND D B PB?? ? ? ? ? ?????? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ?? ? ? ? ?? ?? ??? ??? ?? ?? ??? ?? ??? ?? ? ?? ? ? ?(5)成立，则系统（1）是广义二次稳定且严格无源的。证明 ：令 11 ( ( ))( ) ( ) ( ) ( )ki kV x k x k E PEx k x i Qx i??? ? ?? ?? ? ?，显 然 1 ( ( ))0 V x k ? ,记 1 1( ) ( ( ) ( ),..., ( ) ( )), ( ,..., )u m mx k x k u k x k u k N N N? ? ?? ?则系统（1）变形为 ( 1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ), [ ,0]uEx k A A x k A x k Nx k Bu kz k Cx k Du kx k k k??? ?? ? ?? ? ? ? ?? ?? ? ?令 11 ( ( ))( ) ( ) ( ) ( )ki kV x k x k E PEx k x i Qx i??? ? ?? ?? ? ?，显然 1 ( ( ))0, (0) 0 V x k V ? ?经计算 1 11( ( 1)) ( ( )) 2 ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )( )( ( ) ( )uV x k V x k z k u kA A P A A E PE Q A A PAA P A A A PA Qx k x k x k u kN P A A N PAB P A A C B PAx k A A PN A A PB CA PN A PBN PN N PBB PN?? ? ???? ???? ? ?? ?? ? ? ?? ?? ?? ? ?? ?? ??? ? ?? ?? ?? ? ? ????? ??? ? ? ?? ? ?????? ?? ?? ? ? ?? ???????? ?2)( )( )( )( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )( )uuux kx ku kx kx kx k x k x k u kx ku k???? ? ? ?? ?? ??? ?? ?? ?? ?? ?? ??? ?? ? ? ?? ?? ?? ?? ??这里 2 31A PA E PE Q A PA A PN A PB CA PA A PA Q A PN A PBN PA N PA N PN N PBB PA C B PA B PN?? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ?? ??? ?? ? ??? ?? ?? ?? ? ?? ?不确定广义双线性系统的稳定性与无源控制马 睿（郑州大学数学系，450001）【摘 要】研究了不确定双线性广义时滞系统在外部输入作用下的稳定性和无源控制问题。利用线性矩阵不等式和广义代数Riccati 不等式，给出了不确定双线性广义时滞系统渐进稳定且严格无源的充分条件，并且基于此条件给出存在状态反馈控制器，使得闭环系统渐进稳定且严格无源的充分条件，同时给出相应的控制器设计。【关键词】时滞；双线性广义系统；渐进稳定；严格无源；状态反。晃拊纯刂啤局型挤掷嗪拧縂623.5 【文献标识码】A 【文章编号】 1672-5158(2013)07-0330-02【Abstract】 The stability and passive control problem of Discrete-Time Bilinear Singular Systems with time-delay is discussed under bounded energyexogenous inputs .By means of linear matrix inequalities and generalized algebra Riccati inequalities, and a sufficient condition is derived as such that a prescribeddiscrete-time bilinear singular system with time-delay is asymptotically stable and strictly passive. Moreover, a sufficient condition is provided for the existenceof a state feedback controller such that the closed-loop system is both asymptotically stable and strictly passive. The design method for such state feedback controlleris also given.【Keywords】 Time-Delay; Bilinear Singular Systems; Asymptotically stable; Strictly Passive; State Feedback; Passive Control
