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含参不等式恒成立问题的求解策略 一、判别式法 若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函数 ) , 0 ( ) (2R x a c bx ax x f ? ? ? ? ? ,有 1） 0 ) ( ? x f 对 R x? 恒成立???? ???00 a; 2） 0 ) ( ? x f 对 R x? 恒成立 .00???? ???a ． 例 1．已知函数 ] ) 1 ( lg[2 2a x a x y ? ? ? ? 的定义域为 R，求实数 a 的取值范围。 解：由题设可将问题转化为不等式 0 ) 1 (2 2? ? ? ? a x a x 对 R x? 恒成立，即有 0 4 ) 1 (2 2? ? ? ? ? a a 解得311 ? ? ? a a 或 。 所以实数 a 的取值范围为 ) ,31( ) 1 , ( ?? ? ?? ? 。 若二次不等式中 x 的取值范围有限制，则可利用根的分布解决问题。 例 2．设 2 2 ) (2? ? ? mx x x f ，当 ) , 1 [ ?? ? ? x 时， m x f ? ) ( 恒成立，求实数 m 的取值范围。 解：设 m mx x x F ? ? ? ? 2 2 ) (2，则当 ) , 1 [ ?? ? ? x 时， 0 ) ( ? x F恒成立 当 1 2 0 ) 2 )( 1 ( 4 ? ? ? ? ? ? ? ? m m m 即 时， 0 ) ( ? x F 显然成立； 当 0 ? ? 时，如图， 0 ) ( ? x F 恒成立的充要条件为： ???????? ???? ?? ?1220 ) 1 (0mF 解得 2 3 ? ? ? ? m 。 综上可得实数 m 的取值范围为 ) 1 , 3 [? 。 二、最值法 将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有： ( ) 0 f x ? 恒成立 ?min( ) 0 f x ? （注：若 ( ) f x 的最小值不存在，则 ( ) 0 f x ? 恒成立 ? ( ) f x 的下界大于 0）； ( ) 0 f x ? 恒成立?max( ) 0 f x ? （注：若 ( ) f x 的最大值不存在，则 ( ) 0 f x ? 恒成立? ( ) f x 的上界小于 0）. 例 3 ． 已知 x x x x g a x x x f 40 4 2 ) ( , 28 7 ) (2 3 2? ? ? ? ? ? ， 当] 3 , 3 [? ? x 时， ) ( ) ( x g x f ? 恒成立，求实数 a 的取值范围。 解：设 c x x x x g x f x F ? ? ? ? ? ? ? 12 3 2 ) ( ) ( ) (2 3， 则由题可知 0 ) ( ? x F 对任意 ] 3 , 3 [? ? x 恒成立 令 0 12 6 6 ) (2 '? ? ? ? ? x x x F ，得 2 1 ? ? ? x x 或 而 , 20 ) 2 ( , 7 ) 1 ( a F a F ? ? ? ? ? , 9 ) 3 ( , 45 ) 3 ( a F a F ? ? ? ? ? ∴ 0 45 ) (max? ? ? a x F ∴ 45 ? a 即实数 a 的取值范围为 ) , 45 [ ?? 。 例 例 4 ．设函数3 21( ) (1 ) 4 243f x x a x ax a ? ? ? ? ? ，其中常数 1 a ? 若当 0 x ? 时， ( ) 0 f x ? 恒成立，求 a 的取值范围。 分析：利用导数求函数的最值，由恒成立条件得出不等式条件从而求出 a 的范围。 解：（II）由（I）知，当 0 ? x 时， ) (x f 在 a x 2 ? 或 0 ? x 处取得最小值。 a a a a a a a f 24 2 4 ) 2 )( 1 ( ) 2 (31) 2 (2 3? ? ? ? ? ?a a a 24 4342 3? ? ? ? ； a f 24 ) 0 ( ? 则由题意得????????, 0 ) 0 (, 0 ) 2 (1fa fa 即????????? ? ? ??. 0 24, 0 ) 6 )( 3 (34, 1aa a aa 解得 1 6 a ? ? ? (1,6) a ? 。 ． 例 4〃．函数 ) , 1 [ ,2) (2?? ?? ?? xxa x xx f ，若对任意 ) , 1 [ ?? ? x ，0 ) ( ? x f 恒成立，求实数 a 的取值范围。 解：若对任意 ) , 1 [ ?? ? x ， 0 ) ( ? x f 恒成立， 即对 ) , 1 [ ?? ? x ， 02) (2?? ??xa x xx f 恒成立， 考 虑 到 不 等 式 的 分 母 ) , 1 [ ?? ? x ， 只 需 0 22? ? ? a x x 在) , 1 [ ?? ? x 时恒成立而得 而 抛 物 线 a x x x g ? ? ? 2 ) (2在 ) , 1 [ ?? ? x 的 最 小 值0 3 ) 1 ( ) (min? ? ? ? a g x g 得 3 ? ? a 注：本题还可将 ) (x f 变形为 2 ) ( ? ? ?xax x f ，讨论其单调性从而求出 ) (x f 最小值。 三、分离 参数 法 若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强。一般地有： 利用分离参数法来确定不等式 ? ? , 0 f x ? ? ,（ D x ? , ? 为实参数）恒成立中参数 ? 的取值范围的基本步骤: （1） 将参数与变量分离，即化为 ? ? ? ? g f x ? ? （或 ? ? ? ? g f x ? ? ）恒成立的形式； （2） 求 ? ? f x 在 x D ? 上的最大（或最。┲担 （3） 解不等式 ? ?max( ) g f x ? ? (或 ? ? ? ? min g f x ? ? ) ，得 ? 的取值范围。 适用题型：（1） 参数与变量能分离；（2） 函数的最值易求出。 ． 例 5．已知函数 ] 4 , 0 ( , 4 ) (2? ? ? ? x x x ax x f 时 0 ) ( ? x f 恒成立，求实数 a 的取值范围。 如果 ? ? 4 , 4 ? ? x 呢？ 解： 将问题转化为xx xa24 ?? 对 ] 4 , 0 ( ? x 恒成立。 令xx xx g24) (?? ，则min) (x g a ? 由 14 4) (2? ???x xx xx g 可知 ) (x g 在 ] 4 , 0 ( 上为减函数，O x yx-1