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第 25 卷第 2 期水 利 水 电 科 技 进 展2005 年 4 月Vol.25 No.2Advances in Science and Technolog══ ═ ═ ═ ═ ═ ═ ═ ═ ═ ═ ═ ═ ═ ═ ═ ═ ═ ═ ═ ═ ═ ═ ═ ═ ═ ═ ═ ═ ═ ═ ═ ═ ═ ═ ═ ═ ═ ═ ═ ═ ═ ═ ═ ═ ═ ═ ═ ═ ═ ═ ═ ═ ═ ═ ═ ═ ═ ═ ═ ═ ═Apr. 2005y of Water Resources基金项目： 188宝金博页面版部博士点基金资助项目 （20010294002）作者简介： 朱炳麒 （1962—） ， 男， 江苏江阴人， 副教授， 硕士， 从事工程力学研究.弹性力学辛体系研究进展朱炳麒1， 卓家寿2， 周建方1（1.河海大学机电工程学院， 江苏 常州213022；2.河海大学土木工程学院， 江苏 南京210098）摘要： 简述弹性力学问题从 Lagrange 体系向辛体系过渡的思想， 介绍辛体系的几种求解方法， 按解析法、 半解析法、 完全数值方法、 动态问题等几个方面对辛体系的研究进展进行综述， 分析了目前已取得的研究成果并对其水平作了相应评述， 对辛体系的发展趋势作了展望.研究结果表明， 辛体系用对偶的两类变量 （位移和应力） 进行求解， 具有 Lagrange 体系无法比拟的优越性， 其发展前景非常广阔.关键词： 弹性力学； Lagrange 体系； 辛体系； 对偶中图分类号： O343文献标识码： A文章编号： 1006-7647 （2005） 02-0053-05Advances in research of Symplectic system of elasticity/ /ZHU Bing-qi1，ZHUO Jia-shou2，ZHOU Jian-fang1（1. College ofMechanical & Electrical Engineering，Hohai Univ.，Changzhou 213022，China； 2. College of Civil Engineering，Hohai Univ.，Nanjing 210098，China）Abstract：A brief introduction was given to the idea of transition of the Lagrange system to the Symplectic system in elasticity andseveral methods for solving the Symplectic system. Some advances in research of the Symplectic system were summarized in theaspects of the analytical method，semi-analytical method，entirely numerical method，and dynamic problems. Based on an analysisof the research result about the Symplectic system，the development level of the system was commented，and the trend of its furtherdevelopment was discussed. The research shows that the Symplectic system is superior to the Lagrange system because of itsadoption of the dual variables of displacement and stress，and that the Symplectic system is of wide prospect in future.Key words：mechanics of elasticity；Lagrange system；Symplectic system； duality弹性力学问题的求解一直是其发展的一个 “ 瓶颈”， 传统的解析求解方法都是在一类变量的范围之内进行的， 其思路总是用各种方法对未知函数予以消元， 得到一个高阶偏微分方程后再对未知函数求解， 属于 Lagrange 体系， 通常采用半逆法求解. 近几十年弹性力学问题的数值方法发展迅速， 出现了有限差分法、 有限元法等十多种数值分析技术.然而，这些数值方法都是在 Lagrange 体系下发展起来的，因此， 无法突破该体系自身的局限性.20 世纪 90 年代， 冯康教授等［1 ～ 3］经过深入研究， 将辛算法应用于动态问题的计算， 显示了辛体系（Hamilton 体系） 的优越性； 钟万勰教授等［4 ～ 10］则将辛体系引入到弹性力学中， 建立和发展了弹性力学辛体系.1导向辛体系将弹性力学问题从 Lagrange 体系导向辛体系有几种途径， 下面简述从势能变分原理导向辛体系的思想［9， 10］.首先将某一坐标模拟为时间坐标， 并用一点代表对该坐标的微商， 采用勒让德 （Legendre） 变换引入位移的对偶变量， 然后将 Lagrange 体系中弹性力学问题的总势能表示为位移及其对偶变量 （应力） 的形式， 由势能变分原理即得 Hamilton 对偶方程组， 它是含有位移和应力两类变量的一阶正则方程组； 再引入全状态向量、 单位辛矩阵、 Hamilton 算子矩阵并定义辛内积， 则全状态向量组成一辛几何空间.这样就完成了从 Lagrange 体系向辛体系的过渡， 其意义在于从传统的欧几里得 （Euclidean） 几何形态进入到辛几何形态之中， 可以应用对偶的混合变量方法进行研究.弹性力学的 Hamilton 对偶方程组也可由基本方程推得， 或通过引入 Hamilton 密度函数而直接写出其 Hamilton 对偶方程的矩阵向量形式［10］， 还可由其·35·水利水电科技进展， 2005， 25 （2） Tel： 025-83786335E-mail： jz@ hhu. edu. cnhttp： / / kkb. hhu. edu. cn