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中 等 数 学 2001~2002年国内外数学竞赛题选解(二) 李 建 泉 (天津 师范 大学数学科学学 院 ，3ooo74) 二 、组合部分 娄 姗 姗 (中等数学 杂志编辑部 ，30o02o) 1．在一次国际会议上 。有四种官方语言 ．任意两 名会议代表可以用这四种语言之一进行讨论．证明： 至少有60％的会议代表能讲同一种语言． (2o02，罗马尼亚为 IYlO和巴尔干地区数学奥林 匹克选拔考试供题(第二轮)) 证明：假设这四种语言分别为 1，2，3，4． (1)若存在一名会议代表只会一种语言，则显然 其他代表均会这种语言 ． (2)每名会议代表至少会两种语言，且只讲两种 语言‘的代表中没有公共语言．因此，对称地将会议代 表分成如下的 8类 ： (1，2)，(1，3)，(2，3)，(1，2，3)，(1，2，4)， (1，3，4)，(2．3，4)，(1，2，3，4)． 如果能讲语言 1，2，3的会议代 表少于60％，用 ． 表示会讲语言 i，． ，?的会议代表的数 目，则有 XI2+XI3+XI23+XI24+ l34+XI2M<-3-2 ， j ’1 一J·J·? l2 + ∞ + 1 + l24 + 234 + l2 < ÷∑ ， 一 l·J·” l3+X23+X123+ 134+X234+XI234<— ‘三 · j＼1 一 i·J·? 以上三式相加得 2∑ + + 。 ∑ ， l·J·? l·J· 即 1∑ + + 34<o． 一l·J· 矛 盾 ． (3)每名会议代表至少会两种语言，只讲两种语 言的代表中有一种语言是公共的．类似地。将会议代 表分成如下的 8类： (1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，2，3)，(1，2，4)， (1，3，4)，(2，3，4)，(1，2，3，4)． 若结论不成立，则有 + + + + 4+ + < ÷∑ ． l小 XI2+XI23+X124+X234+XI2M<-3-‘2 ' j ] 张 茗 (天 津市实验 中学 ，300074) l3+XI23+ I34+1：234+Xt 234<- 3-。 ?' l·，·? 3 n Xl4+X124+XI34+ 2 +X1 234<-g- ?· 将第一个不等式乘 2再与其他不等式相加 ，得 3( I2+ I3+ ¨)+4( I趋+ I24+ I )+ 3 234+5 l <3∑ ， 即 l + l24+ l34+2 l234<0． 矛盾 ． 2．设 A是集合 {1，2，3，?，16}的一个 元子集， 且 A的任意两个子集的元素之和互不相等．而对于 集合 {1，2，3，?，l6}的包含集合 A的任意 +1元子 集 B，则存在 B的两个子集，它们的元素之和相等． (1)证 明 ： ≤5； (2)求集合 A的元素之和的最大值和最小值． (2002，保加利亚冬季数学竞赛) 证明：(1)因为 A有 2 个子集(包括空集)，且任 意两个子集的元素之和互不相等，所以 A的元素之 和至少 有 2 一1个 ． 若 ≥7，则 2 一1>16k，不可能． 若 =6，考虑 A的一、二 、三 、四元子集，共有 + + +(=芸=56个不同的和，且最小的和是 1， 最大的和是 l6+l5+l4+12=57(其 中 l6+13=15 +l4，故这 4个数不能同在 A中)． 若 1∈A，则最大的和是 l6+l4+l2+9=51(其 中 16=15十1，故这 3个数不能同在 A中；14=13+ 1，故这 3个数不能同在 A中；12=11+1，故这 3个 数不能同在 A中；16+10=14+l2，故这 4个数不能 同在 A中)，最多有 51个不同的和，矛盾 ． 若 2∈A，则最大的和是 l6+l5+l2+9=52，最 多有 51个不同的和，矛盾 ． 若 1 A，2 A，则在[3，57]中至多有 55个和， 矛盾 ． 故 ≤5． 解：(2)若 A={n，，n：，?， f元素的和小于 l6， 则集合{n，，n：，?， ，16}中无 元素的和相等 的子 维普资讯 http://www.cqvip.com