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P P0 01 1: : 0 01 1 背 背包包问问题题 题题目 目 有有 N N 件品品装装入 件物物品入背背包品和和一包可可使一个个容使这这些容量量为些物物品为 V V 的品的的费的背背包费用用总包。 。 第总和和不第 i i 件不超超过件物物品过背背包品的包容容量的费量， ， 且费用用是是 c c[ [i i] ]， ， 价且价价值价值值是总和和最是 w w[ [i i] ]。 。 求最大大。 。 求解解将将哪哪些些物物值总 基基本本思这这是是最 思路路 最基基础 础的的背背包包问问题题， ， 特特点点是是： ： 每每种种物物品品仅仅有有一一件件， ， 可可以以选选择择放放或或不不放放。 。 用用子值值。 。 则 子问问题题定则其其状定义义状状态态转状态态： ： 即转移移方即 f f[ [i i] ][ [v v] ]表方程程便便是表示示前前 i i 件件物物品品恰恰放放入入一一个个容容量量为为 v v 的的背背包包可 可以以获获得得的的最最大大价价是： ： f f[ [i i] ][ [v v] ]= =m ma ax x{ {f f[ [i i- -1 1] ][ [v v] ], ,f f[ [i i- -1 1] ][ [v v- -c c[ [i i] ]] ]+ +w w[ [i i] ]} } 。 。 这这 要要将将它件件物物品第第 i i 件品品， ， 那大大价价值 个个方它详品的件物那么值就方程程非详细细解的策策略物品品， ， 那么问问题就是是 f f 非常常重解释释一略（（放那么题就就转 [ [i i- -1 1] ][ [v v- -c c[ [i i] ]] ]再重要要， ， 基一下下： ： “放或或不么问问题转化化为基本本上“将将前不放放） ）， ， 那题就就转转化为““前前 i i- -1 1 件再加加上上所所有前 i i 件那么化为为“有跟跟背件物物品么就就可“前前 i i- -1 1 件件物物品品放上通通过过放放入背包包相品放放入可以以转相关入容容量转化化为件物物品放入入剩入第第 i i 件关的量为为一品放剩下下的件物的问为 v v 的一个放入的容物品品获问题题的的方的背背包个只只牵入容容 容量量为获得得的方程程都包中牵扯扯前 量量为为 v v- -c c[ [i i] ]的的价价值都是是由中” ” 这前 i i- -1 1 件为 v v 的的背的背值 w w[ [i i] ]。 。 由它它衍这个个子件物背包背包衍生生出子问问题物品品的包中中” ”； ； 如包中中” ”， ， 此 出来来的题， ， 的问问题如果此时的。 。 所 若若只只考题。 。 如果放放第时能能获所以考虑如果果不第 i i 件获得得的以有有必虑第第 i i不放件物的最必放物最注注意意 f f[ [i i] ][ [v v] ]有程程递递推推完义义中中的的“是是最最后后的 有意意义毕后后， ， 最“恰恰” ” 字的答答案案。 。 至义当最终字去去掉至于当且且仅终的的答掉， ， 在于为为什仅当答案在转什么当存存在案并并不转移移方么这这样在一不一方程样就一个个前一定定是程中中就就可可以前 i i 件是 f f[ [N N] ] 就要要再以， ， 由件物物品 [ [V V] ]， ， 而再加加入由你你自 自 己品的的子子 而是入一一项己来 集集， ， 其是 f f[ [N N] ][ [0 0. .. .V V] ]的项 f f[ [i i] ][ [v v- -1 1] ]， ， 这来体体会会了了。 。 其费费用用总的最这样 总和和为最大样就为 v v。 。 所大值值。 。 如就可可以所以如果果将以保保证以按按照将状证 f f[ [N N] ] 照这这个状态态的 [ [V V] ]就个方的定定就方完毕优优化化空以以上上方间间复复杂 空间方法法的杂度度却间复复杂的时却可杂度度 时间间和可以以优 和空优化化到空间间复复杂到 O O( (V V) )。 。 杂度度均均为 为 O O( (N N* *V V) )， ， 其其中中时时间间复复杂杂度度基基本本已已经经不不能能再再优优化化了了， ， 但但空空先先考f f[ [i i] ][ [0 0. .. .V V] ]的表表示示的的就来来， ， 能能否的的值值呢呢？ ？ 事时时 f f[ [v v- -c c[ [i i] ]] ]保 考虑虑上上面的所就是是我否保保证事实面讲所有我们证在在推实上保存存的讲的有值们定推 f f[ [i i] ][ [v v] ]时上， ， 这这要的是是状的基值。 。 那定义基本本思那么义的的状思路么， ， 如状态态 f f[ [i i] ][ [v v] ]呢时 （（也也即要求求在在每每次状态态 f f[ [i i - -1 1] ][ [v v- -c c[ [i i] ]] ]的路如如何如果何实果只实现只用现， ， 肯用一一个呢？ ？ f f[ [i i] ][ [v v] ]是即在在第第 i i 次次主次主主循循环环中的值肯定个数数组定是组 f f 是由主循循环中我我们们以值。 。 伪伪代是有有一 [ [0 0. .. .V V] ]， ， 能由 f f[ [i i- -1 1] ][ [v v] ]和环中中推推 f f[ [v v] ]时以 v v= =V V. .. .0 0 的代码码如如下一个个主主循循环能不和 f f[ [i i- -1 1] ] 时） ）能能够的顺顺序序推下： ： 环 i i= =1 1. .. .N N， ， 每不能能保保证证第每次次循次算循环两个算出环结个子和 f f[ [i i- -1 1] ][ [v v 这样样才才能能保出 来结束子问问题来二束后题递二维后 f f[ [v v] ]中递推 - -c c[ [i i] ]] ]维数数组中推而组第 i i 次 [ [v v- -c c[ [i i] ]] ]两够得得到到 f f[ [i i- -1 1] ][ [v v] ]和推 f f[ [v v] ]， ， 这而保证证推推 f f[ [v v] ]f fo or r i i= =1 1. .. .N N f fo or r v v= =V V. .. .0 0 f f[ [v v] ]= =m ma ax x{ {f f[ [v v] ], ,f f[ [v v- -c c[ [i i] ]] ]+ +w w[ [i i] ]} } ; ; 其其 1 1] ][ [v v- -c c[ [i i] ]] ]} } ， ， 因逆逆序序改改成重重要要的的背的的。 。 中中的的 f f[ [v v] ]= =m ma ax x{ {f f[ [v v] ], ,f f[ [v v- -c c[ [i i] ]] ]} } 一因为为现现在在的成顺顺序序的的话话， ， 那背包包问问题题 P P0 02 2 最一句就相相当成了了 f f[ [i i] ][ [v v] ]由捷的的解解决决方句 恰当于恰就于原由 f f[ [i i] ][ [v v- -c c[ [i i] ]] ]推方案案， ， 故故学学习就相原来相当来的当 于的 f f[ [i i- -1 1] ][ [v v- -c c[ [i i] ]] ]。 。 如推知习只只用用一一维于我我们们的的转转移移方如果与本本题维数数组组解方程果将题意解 0 01 1 背程 f f[ [i i] ][ [v v] ]= =m ma ax x{ {f f[ [i i- -1 1] ][ [v v] ], ,f f[ [i i- - 将 v v 的的循循环环顺顺序意不不符符， ， 但但它它却背 包包问问题题是 的 f f[ [v v- -c c[ [i i] ]] ]就那么么 则则成最简简捷序从从上却是是另是十十分上面面的另一一个分必必要的个要知， ， 与