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凹函数的性质在求最值中的应用胡浩鑫（温州中学，浙江温州３２５０００）凹凸性是函数的重要性质。定义为：若函数ｆｉｘ）在开区问Ｉ有定义，且对任意的ｘ。，Ｘ，Ｅ Ｉ，ｔ∈（０，１）均有ｆ［仅，“ｌ—ｔ）ｘ：］≥（≤）ｔｆ（ｘ．）＋（１－ｔ）ｆ（ｘ２）Ｉｉ殳立，则称ｆ（ｘ）在区间Ｉ上是凹（凸）函数。函数凹凸性的判定常用如下定理：设ｆ（ｘ）在Ｉ内二阶可导，则ｆ（ｘ）是Ｉ上的凹（凸）函数的充要条件是Ｐ，（ｘ）≤（≥）０，ｘＥ Ｉ）。若ｆ（ｘ）在ｌ上是凸函数，则一ｆ（ｘ）在Ｉ上为凹函数，所以讨论凸函数可以转化为讨论凹函数。本文给出一则凹函数的性质及推论，并举例说明它在数学竞赛中的一些最值问题上的应用。性质：定义在Ｉ上的二阶可导甬数ｆ（ｘ）是严格凹函数，若Ｘ，，ｘ：∈［ａ，ｂ］（［ａ，ｂ］∈Ｉ），且ｘ，＋ｘ：为定值，则当Ｉｘ２一ｘｌｌ的值增大时，ｆ（ｘ，）＋ｆ（ｘ，）的值减小。证明：设ｌｘ２’－－ＸＩｔＩ＞ｌｘ２－ｘｌＩＪ｜．Ｘｌ＇＋ｘ２７＝】【ｌ＋ｘ２为定值，不妨设ｘ２７＞ｋ≥ｘ１＞ｘ１’，则ｘ，’—＆＝ｘ．一Ｘｌ／＞ｏ。由微分中值定理，存在￡。Ｅ（ｘ。’，ｘ。），乞Ｅ（ｘ２，ｘ２ ７），使得ｆ（ｘ，）一ｆ６，。’）掣（￡。）（ｘ。一ｘ。’），ｆ（ｘ：，）－ｆ（ｘ：）＝ｆ７（劬鸭’—勘成立。因为ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上是严格凹函数，所以当ＸＥ［ａ，ｂ］时，ｆ，（ｘ）≤０即ｆ，（ｘ）在［ａ’ｂ］上单调递减，又因为￡。＜￡：，所以ｆ，（专：）－ｆ，（∈。）＜ｏ，所以ｆ（ｘ。）’＋蚴’一ｆ（ｘ。）－ｆ（ｘ２）＝［救’）一ｆ（ｘ２）卜［ｆ（ｘ。）一ｆ（ｘ。’）］掣传２）代’啕－ｆ，传。）（ｘｌ－ｘ。’）＝［ｆ，（劬－ｆ，传。）］（ｘ。－ｘ。’）＜ｏ。。即ｆ（ｘ。’）＋啦’）＜ｆ（Ｘ，）一ｆ（ｘ２）得证。推论：设ｆ（ｘ）是定义在［ａ，ｂ］ｌ－的连续严格凹函数，若ｘ。，Ｘ：ｘ＋Ｙ．Ｅ［ａ，ｂ］王ｔｘｌ＋ｘ２为定值，则［ｆ（ｘ１］＋ｆ（囝］。＝２“—！孑）；［ｆ（ｘ。）删］柚＝ｆ（ａ）＋ｆ（ｘ１＋＆一ａ）（当ｘ。＋ｘ２一ａ≤ｂ时），或［ｆ（ｘ１）＋ｆ（勘］。。＝炳）＋ｆ（ｘ。＋ｘ２＿ｂ）（当ｘｌ＋ｘ２．ｂ≥ａ时）。１．在定义域内函数的凹凸性一致＋、／瓦的最小值。例１．已知非负实数ｘ，Ｙ，ｚ满足ｘ＋ｙ＋ｚ＝ｌ，求ｓ＝２ｘ，ｆｆｃｉ－ｘ＋ｖＴ－ｙ解：设ｆ（ｘ）＝、／蕊。，（ｘ Ｅ［０，１］），则ｆ（ｘ）在定义域内为凹函数。则由推论得订。兰ｉｘ＝ｙ＝０，ｚ＝１时取到等号。ｓ－－ｆ（ｘ）＋ｆ（ｙ）＋“ｚ）≥ｆ（０）＋ｆ（ｘ＋ｙ）＋“ｚ）≥ｆ（研＋ｆ（∞＋ｆ（ｘ＋ｙ＋ｚ）＝１＋２２．在定义域内函数凹凸互现例２．非负实数ａ，ｂ，ｃ满足ａ＋ｂ＋ｅ＝ｌ，求（１一ａ‘）‘＋（１一ｂ‘）‘＋（１一ｃ‘）‘万 　方数据的最小值。解：设ｆ∞＝（１．ｘ’。，ｘＥ［ｏ，１］，．卿］ｆ＂（ｘ）＝１２ｘ２－４，所以ｘ∈［ｏ，±≠］时，ｆ（ｘ）为凹函数；ｘ∈［±≠，１］时，ｆ（ｘ）为凸函数。不妨设０≤ａ≤ｂ≤ｃ≤１，１）若ｃ∈［。觯В，１］，则ａ，ｂ，ａ＋ｂ【ｏ＇孚］，固定ｃ．由推论得“ａ）＋ｆ（ｂ）＋“ｃ）≥ｆ∞）＋“ａ＋ｂ）＋ｆ（ｃ）＝１十ｆ（１－ｃ）＋ｆ（ｃ）．：１＋［１一（１一ｃ）２］２＋（１一ｃ２）２＝２０（ｃ—１）２＋２＞１２ａ＝ｂ＝０，ｅ＝ｌ时取等号。２）若ｃ∈［ｏ，半］，＋ｆ（１一孚）＋ｆ（孚声。玻叮矗郑缘保幔≤二。荷庇“ａ）＋“ｂ）＋“ｃ）≥“ｏ）＋“ｂ）＋ｆ（ａ＋ｃ）≥“ｏ）“孚）≥ｆ（ｏ）＋ｆ（－：孚）＋ｆ（孚）＿。玻叮矗郑В常保幔悖荆郑常В常贝。幔“（ｂ）“（ｃ）引（ａ＋ｃ一半）“（ｂ）＋因为半＞２所以当ａ＝ｂ机＝１哪爿＋（１－ｂ２）２＋（１一ｃ２）２取最小值２。。例３．非负实数ｘ。，ｘ２，?，ｘ。（ｎ∈Ｎ，ｎ≥２）满足芝ｘｉ＿ｌ，试求芝（ｘ５＿而的最小值。解：设ｆ（。）：ｘ５．ｘ４，Ｆ（ｘ，，毪，?，ｘｌ｜）：芝（ｘ５＿】【：１），则由，（ｘ）：２０】【３—１２ｘ２知ｆ（ｘ）在［ｏ，｛－］上ｍｍｍｍ，在‘了３，１］上是凸函数。不妨设ｘ１≤】【２≤?≤ｘ。。若ｘ。≥詈，则ｘ。＋ｘ２＋?＋ｘ。一。≤了２，固定ｘ。，由推论得Ｆ（ｘｌ，ｘ２，?，ｘｎ）≥Ｆ（Ｏ，】【２，ｘ３，?，ｘｌ＋ｘｎ－ｌ，ｘＴ．）≥?≥Ｆ（ｏ，０，?，Ｏ，ｘｌ＋ｘ２＋?＋ｘｎ—ｌ，ｏ＝Ｆ（Ｏ，０，?，ｏ，１－ｘ，ｘＩＩ）＝３［ｘ（１一ｘＪ］２一ｘｎ（１－ｘＪｌ）。设ｘ（１－ｘ。）＝ｔ，则ｔＥ［ｏ，百１］，从而Ｆ（ｘｌ，ｘ２，?，ｘ。）≥３ｔ２一ｔ－３ｏ一丢）２一击≥一去。