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188宝金博页面版: 恒等式证明的概率模型法

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文档格式:PDF | 页数:4 | 浏览次数:12 | 上传日期:2019-07-31 18:45:46 | 文档星级:
年 $ 月!""# $第% 卷第 & 期安庆师范学院学报’自然科学版(( )*+,-./*01-23-456.786,9:*//646’;.<+,./=736-76?!""# ;*>?%; ?& @*/ ABBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB恒等式证明的概率模型法姚 仲 明安庆师范学院 数学系D安徽 安庆’ EFGHII(摘 要 J 本文利用建立概率模型D证明几个重要的恒等式K 有些恒等式用常用的分析方法证明是很不易的 D但建立了概率模型后D通过求概率或求数学期望D很方便地把恒等式证明出来K关键词J组合恒等式L概率L数字特征L证明中图分类号J II?N ME文献标识码JO文章编号JIHHPQFEGH’EHHR(HFQHHRPQHE组合恒等 式的证明D历来不易K下面的两个组合恒等式是组合数 学中常用的组合恒等式D我们以定理的形式给出并加以证明K定理I设S则有JTUDDTUDVWYXZXS SQ I SQ IXV V VQ I证明J构造概率模型J袋中有]只黑球D^只白球D从中任取S只 ’ 试求至少取_‘a’D((DSS]^出一只黑球的概率K取 出 的S只 球 中 恰 有a只 黑 球ecdDYOaa则OID且OYIDD[[DSOEDOS 两 两 互 不 相 容D而gfOaD’(YOaaY ISa SQaXX] ^于是由概率的有DYIDDDaSSX]Z^SS’I(WZ I W W WZXZ[ZX’E(SYXSQ I SQ E WX证明J建立 概率模型J设一袋中装有S只球D其中仅有一只红球D现从袋中取出V只球D则有X种取法K于是我们可将这X种取法分为两类J一类是包含红球的D取定了那个红球之外D还需VSVSI在余下的S共 有XQI只球 中 取 出VQI只 来DIVQ I 种取法L另一类是不含红球D应在除去红球后SQ IXH V的S只球中取出V只球D因此共有X种取QII SQ IXV法D两类取法之和即为取法总数D即X种取法D所S限可加性得J’Yg’fOa(Ybg’(gO(OaaY I aY Ia SQaXXI] ^a SQaYbYS bX] ^XSaY I Y IXX]Z^ ]Z^ aSX^另一方面DYS ’gO(X]Z^SX^所以g’ YIQg’ YIQSO(O(XZ^ ]S S以有XYXXZXXYXZX获证K下面我们来证’式JE(VSIIVQ ISQ IHIVSQ IVQ ISQ IWZ I WZ I WZXSYXSQ I SQ IXWZ I WZ I W故XYXZXSQ I SQ E SQ EVSQ I于是 ’ 式DI(所以SXI^a SQabYIQ] ^XXS SDY IXX]Z^ a ]Z^SS在 ’ 式中作变换J得JI(YWZIVa SQa S由此得JbX^YX] ]Z^XaY H定理R如果S那么TUDTUDJ‘TUDhh\ \YXZXYXZXWZ E WZ I WZ I W WZ IX把上述 这些等式的两边分别相加D并进行化WZ I W W W W简得JZXZ[ZXZXSYXSQ I SQ E WZ I WXWZ I WZ I W W WbXXaY Ia‘hQaShYXSZ‘证明J构造概率模型J设箱中有S只白球D‘只黑球D现从中随机地取出h只球D用i表示取黑球的数目D求i的数学期望K一方面D随机变量i的分布列为’Ya(Ygia hQaX‘XSD’YHDIDED[D(ahhXZ‘ S于是由数学期望的定义知J这样 ’ 式得证KE(定理E设]且SJTUDTUDTUD_‘a’D^SS]Sa SQa S则 bX(D] ^YX]Z^^XaY HC收稿日期JEHHRQHRQEH姚仲明’男 D 安徽枞阳人D安庆师范学院数学系副教授D主要从事概率论教学与研究K CC作者简介J INFNQ(D

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