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张兆海

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    188宝金博页面版: 高考复习数学B版考点考法讲解：平面向量的数量积及其应用

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    内容提示： 平面向量的数量积及其应用一、两个向量的夹角１．定义和范围２．两向量的夹角分别是锐角与钝角的充要条件二、平面向量的数量积三、向量数量积的性质设 ａ、ｂ 都是非零向量，ｅ 是与 ｂ 方向相同的单位向量，θ 是 ａ与 ｅ 的夹角，则１．ｅ·ａ＝ａ·ｅ＝ ｜ａ｜ｃｏｓ θ．２．ａ⊥ｂ?　 ａ·ｂ＝０ 。常 ａ 与 ｂ 同向时，ａ·ｂ＝　 ｜ａ｜ ｜ｂ｜ 。坏 ａ 与 ｂ 反向时，ａ·ｂ＝　 －｜ａ｜ ｜ｂ｜ 。乇鸬，ａ·ａ＝　 ｜ａ｜２ 。矗帷ぃ猓埽幔ぃ猓、向量模与夹角的坐标表示已知 ａ＝（ｘ １ ，ｙ １ ），ｂ＝（ｘ ２ ，ｙ ２ ），则１．｜ａ｜２ ＝ａ·ａ＝ｘ ２１＋ｙ２１ ，｜ａ｜ ＝ｘ ２１＋ｙ２１ ．２．设向量 ａ 与 ｂ 的夹角为 θ，则 ｃｏｓ θ＝ａ·ｂ｜ａ｜ ｜ｂ｜＝ｘ １ ｘ ２＋ｙ１ ｙ ２ｘ ２１＋ｙ２１ ·ｘ ２２＋ｙ２２．【知识拓展】（１）当 ａ≠０ 时，由 ａ·ｂ＝０ 不一定推出 ｂ＝０，这是因为对任一个与 ａ 垂直的向量 ｂ，都有 ａ·ｂ＝０．当 ａ≠０ 时，ａ·ｂ＝ａ·ｃ 也不一定推出 ｂ＝ｃ，因为由 ａ·ｂ＝ａ·ｃ 得 ａ·（ｂ－ｃ）＝ ０，即 ａ 与（ｂ－ｃ）垂直．（２）数量积的运算不...

    文档格式：PDF | 页数：2 | 浏览次数：15 | 上传日期：2023-12-25 00:08:51 | 文档星级：
    平面向量的数量积及其应用一、两个向量的夹角１．定义和范围２．两向量的夹角分别是锐角与钝角的充要条件二、平面向量的数量积三、向量数量积的性质设 ａ、ｂ 都是非零向量，ｅ 是与 ｂ 方向相同的单位向量，θ 是 ａ与 ｅ 的夹角，则１．ｅ·ａ＝ａ·ｅ＝ ｜ａ｜ｃｏｓ θ．２．ａ⊥ｂ⇔　 ａ·ｂ＝０ 。常 ａ 与 ｂ 同向时，ａ·ｂ＝　 ｜ａ｜ ｜ｂ｜ 。坏 ａ 与 ｂ 反向时，ａ·ｂ＝　 －｜ａ｜ ｜ｂ｜ 。乇鸬，ａ·ａ＝　 ｜ａ｜２ 。矗·ｂ｜≤｜ａ｜·｜ｂ｜．四、向量模与夹角的坐标表示已知 ａ＝（ｘ １ ，ｙ １ ），ｂ＝（ｘ ２ ，ｙ ２ ），则１．｜ａ｜２ ＝ａ·ａ＝ｘ ２１＋ｙ２１ ，｜ａ｜ ＝ｘ ２１＋ｙ２１ ．２．设向量 ａ 与 ｂ 的夹角为 θ，则 ｃｏｓ θ＝ａ·ｂ｜ａ｜ ｜ｂ｜＝ｘ １ ｘ ２＋ｙ１ ｙ ２ｘ ２１＋ｙ２１ ·ｘ ２２＋ｙ２２．【知识拓展】（１）当 ａ≠０ 时，由 ａ·ｂ＝０ 不一定推出 ｂ＝０，这是因为对任一个与 ａ 垂直的向量 ｂ，都有 ａ·ｂ＝０．当 ａ≠０ 时，ａ·ｂ＝ａ·ｃ 也不一定推出 ｂ＝ｃ，因为由 ａ·ｂ＝ａ·ｃ 得 ａ·（ｂ－ｃ）＝ ０，即 ａ 与（ｂ－ｃ）垂直．（２）数量积的运算不满足向量的结合律，即（ａ·ｂ）·ｃ 不一定等于 ａ·（ｂ·ｃ），这是由于（ａ·ｂ）·ｃ 表示一个与 ｃ 共线的向量，而 ａ·（ｂ·ｃ）表示一个与 ａ 共线的向量，而向量 ｃ 与 ａ 不一定共线．（３）几个常用结论在△ＡＢＣ 中，∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ 所对的边分别为 ａ，ｂ，ｃ．①在ＡＩ→＝λＡＢ→｜ＡＢ→ ｜＋ＡＣ→｜ＡＣ→ ｜æèçöø÷ 的条件下，存在 λ 使得 Ｉ 为△ＡＢＣ的内心；ａ ＰＡ→ ＋ｂ ＰＢ → ＋ｃ ＰＣ → ＝０⇔Ｐ 为△ＡＢＣ 的内心．②｜ＰＡ→ ｜ ＝ ｜ＰＢ → ｜ ＝ ｜ＰＣ → ｜⇔Ｐ 为△ＡＢＣ 的外心．③ＧＡ→ ＋ＧＢ → ＋ＧＣ → ＝０⇔Ｇ 为△ＡＢＣ 的重心．④ＰＡ→ ·ＰＢ → ＝ＰＢ → ·ＰＣ → ＝ＰＣ → ·ＰＡ → ⇔Ｐ 为△ＡＢＣ 的垂心．????????????????????????????方法 １　 求平面向量的模的方法　 　 １．把几何图形放到适当的坐标系中，写出有关向量的坐标，求向量的长度．如若向量 ａ＝（ｘ，ｙ），求向量 ａ 的模只需利用公式｜ａ｜ ＝ ｘ ２＋ｙ２即可．２．当向量的坐标无法表示时，利用向量的线性运算和向量的数量积公式进行求解，关键是会把向量 ａ 的模进行如下转化：｜ａ｜ ＝ ａ ２ ．　 平面向量 ａ 与 ｂ 的夹角为 ４５°，ａ＝（１，１），｜ ｂ｜ ＝ ２，则｜３ａ＋ｂ｜等于 （　 　 ）Ａ．１３＋６ ２ Ｂ．２ ５ Ｃ． ３０ Ｄ． ３４解题导引　由 ａ＝（１，１），｜ｂ｜ ＝２ 及〈ａ，ｂ〉 ＝４５°得｜ａ｜及 ａ·ｂ 的值→ 利用｜３ａ＋ｂ｜ ＝（３ａ＋ｂ）２求得结果解析　 依题意得｜ａ｜ ＝ ２，ａ·ｂ＝ ２ ×２×ｃｏｓ ４５° ＝２，∴ ｜３ａ＋ｂ｜ ＝ （３ａ＋ｂ） ２ ＝ ９ａ ２ ＋６ａ·ｂ＋ｂ ２ ＝ １８＋１２＋４ ＝ ３４，选 Ｄ．答案　 Ｄ１－１ 　 若向量 ａ、ｂ 满足：｜ ａ｜ ＝ １，（ａ＋ｂ）⊥ａ，（２ａ＋ｂ）⊥ｂ，则｜ｂ｜ ＝（　 　 ）Ａ．２ Ｂ． ２ Ｃ．１ Ｄ．２２答案　 Ｂ解析　 由题意得（ａ＋ｂ）·ａ＝ａ ２ ＋ａ·ｂ＝０，（２ａ＋ｂ）·ｂ＝２ａ·ｂ＋ｂ ２＝０{⇒－２ａ ２＋ｂ２＝０，即－２｜ａ｜２ ＋｜ｂ｜ ２ ＝０，又｜ａ｜ ＝１，∴ ｜ｂ｜ ＝ ２．故选 Ｂ．　 　 １－２ 　 已知在△ＡＢＣ 中，Ｄ 为 ＢＣ 的中点，若∠Ａ＝１２０°，ＡＢ→ ·ＡＣ→ ＝－１，则｜ＡＤ → ｜的最小值为（　 　 ）Ａ．１２Ｂ．２２Ｃ． ２ Ｄ．３２答案　 Ｂ解析　 显然有｜ＡＤ→｜ ＝１２｜ＡＢ→＋ＡＣ→ ｜．????????????????

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