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张兆海

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    188宝金博页面版: 高考复习数学B版考点考法讲解：直线与圆锥曲线的位置关系

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    内容提示： 直线与圆锥曲线的位置关系　 　 １．直线与圆锥曲线位置关系的判断判断直线 ｌ 与圆锥曲线 ｒ 的位置关系时，通常将直线 ｌ 的方程 Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ＝０（Ａ，Ｂ 不同时为 ０）代入圆锥曲线 ｒ 的方程 Ｆ（ｘ，ｙ）＝ ０ 中，消去 ｙ（也可以消去 ｘ）得到一个关于变量 ｘ（或变量 ｙ）的方程，即Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ＝０，Ｆ（ｘ，ｙ）＝ ０，{消去 ｙ 后得 ａｘ ２ ＋ｂｘ＋ｃ＝０．（１）当 ａ≠０ 时，若　 Δ＞０ 。蛑毕 ｌ 与曲线 ｒ 相交；若　 Δ＝ ０ 。蛑毕 ｌ 与曲线 ｒ 相切；若　 Δ＜０ 。蛑毕 ｌ 与曲线 ｒ 相离．（２）当 ａ＝０ 时，得到一个一次方程，则直线 ｌ 与曲线 ｒ 相交，有且只有一个交点，此时，若 ｒ 为双曲线，则直线 ｌ 与双曲线的　 渐近线 　平行；若 ｒ 为抛物线，则直线 ｌ 与抛物线的　 对称轴 　平行或重合．２．直线与圆锥曲线相交的弦长问题直线 ｌ：ｆ（ｘ，ｙ）＝ ０，圆锥曲线 ...

    文档格式：PDF | 页数：3 | 浏览次数：12 | 上传日期：2023-12-25 00:09:57 | 文档星级：
    直线与圆锥曲线的位置关系　 　 １．直线与圆锥曲线位置关系的判断判断直线 ｌ 与圆锥曲线 ｒ 的位置关系时，通常将直线 ｌ 的方程 Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ＝０（Ａ，Ｂ 不同时为 ０）代入圆锥曲线 ｒ 的方程 Ｆ（ｘ，ｙ）＝ ０ 中，消去 ｙ（也可以消去 ｘ）得到一个关于变量 ｘ（或变量 ｙ）的方程，即Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ＝０，Ｆ（ｘ，ｙ）＝ ０，{消去 ｙ 后得 ａｘ ２ ＋ｂｘ＋ｃ＝０．（１）当 ａ≠０ 时，若　 Δ＞０ 。蛑毕 ｌ 与曲线 ｒ 相交；若　 Δ＝ ０ 。蛑毕 ｌ 与曲线 ｒ 相切；若　 Δ＜０ 。蛑毕 ｌ 与曲线 ｒ 相离．（２）当 ａ＝０ 时，得到一个一次方程，则直线 ｌ 与曲线 ｒ 相交，有且只有一个交点，此时，若 ｒ 为双曲线，则直线 ｌ 与双曲线的　 渐近线 　平行；若 ｒ 为抛物线，则直线 ｌ 与抛物线的　 对称轴 　平行或重合．２．直线与圆锥曲线相交的弦长问题直线 ｌ：ｆ（ｘ，ｙ）＝ ０，圆锥曲线 ｒ：Ｆ（ｘ，ｙ）＝ ０，ｌ 与 ｒ 有两个不同的交点 Ａ（ｘ １ ，ｙ １ ），Ｂ（ｘ ２ ，ｙ ２ ），则 Ａ、Ｂ 两点间的距离 ｜ＡＢ｜ ＝　 １＋ｋ ２ ｜ｘ １－ｘ２ ｜ 　或｜ＡＢ｜ ＝。保保 ２｜ｙ １－ｙ２ ｜ 。ǎ≠０）．特殊地，如果直线 ｌ 过抛物线的焦点，抛物线方程以 ｙ ２ ＝２ｐｘ（ｐ＞０）为例，此时，弦长公式｜ＡＢ｜ ＝　 ｘ １＋ｘ２＋ｐ。常 ＡＢ 的中点与直线 ＡＢ 斜率的关系（１）已知 ＡＢ 是椭圆ｘ ２ａ ２＋ｙ ２ｂ ２＝１（ａ＞ｂ＞０）的一条弦，其中点 Ｍ的坐标为（ｘ ０ ，ｙ ０ ）．运用点差法求直线 ＡＢ 的斜率，设 Ａ（ｘ １ ，ｙ １ ），Ｂ（ｘ ２ ，ｙ ２ ），ｘ １ ≠ｘ ２ ，∵ 点 Ａ，Ｂ 都在椭圆上，∴ｘ ２１ａ ２＋ｙ ２１ｂ ２＝１，ｘ ２２ａ ２＋ｙ ２２ｂ ２＝１，ìîíïïïï两式相减得 ｘ２１－ｘ２２ａ ２＋ ｙ２１－ｙ２２ｂ ２＝０，∴（ｘ １＋ｘ２ ）（ｘ １－ｘ２ ）ａ ２＋ （ｙ１＋ｙ２ ）（ｙ １－ｙ２ ）ｂ ２＝０，∴ｙ １－ｙ２ｘ １－ｘ２＝－ ｂ２ （ｘ１＋ｘ２ ）ａ ２ （ｙ １＋ｙ２ ）＝ － ｂ２ ｘ０ａ ２ ｙ ０ ，故 ｋＡＢ ＝－ｂ ２ ｘ ０ａ ２ ｙ ０ ．（２）已知 ＡＢ 是双曲线ｘ ２ａ ２－ｙ ２ｂ ２＝ １（ａ＞０，ｂ＞０）的一条弦，且Ａ（ｘ １ ，ｙ １ ），Ｂ（ｘ ２ ，ｙ ２ ），ｘ １ ≠ｘ ２ ，弦中点 Ｍ（ｘ ０ ，ｙ ０ ），则 ｋ ＡＢ ＝ｂ ２ ｘ ０ａ ２ ｙ ０ ．（３）已知 ＡＢ 是抛物线 ｙ ２ ＝ ２ｐｘ（ｐ＞０） 的一条弦，且 Ａ（ｘ １ ，ｙ １ ），Ｂ（ｘ ２ ，ｙ ２ ），ｘ １ ≠ｘ ２ ，弦中点 Ｍ（ｘ ０ ，ｙ ０ ），则ｙ ２１ ＝２ｐｘ １ ，ｙ ２２ ＝２ｐｘ ２ ，{两式相减得 ｙ ２１－ｙ２２ ＝２ｐ（ｘ １－ｘ２ ），∴ （ｙ １＋ｙ２ ）（ｙ １－ｙ２ ）＝ ２ｐ（ｘ １－ｘ２ ），∴ｙ １－ｙ２ｘ １－ｘ２＝２ｐｙ １＋ｙ２＝ｐｙ ０，即 ｋ ＡＢ ＝ｐｙ ０．【知识拓展】１．直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题是解析几何中的主要内容之一，也是高考的一个热点问题，常利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）直接得到两交点的坐标之和与之积，也可用平方差找到两交点的坐标之和，直接与中点坐标建立联系．一般有以下三类问题：（１）求中点弦所在直线方程；（２）求弦中点的轨迹方程问题；（３）弦长为定值时，求弦中点的坐标．２．有关曲线关于直线对称的问题，只需注意两点关于一条直线对称的条件：（１）两点连线与该直线垂直（两直线都有斜率时，斜率互为负倒数）；（２）两点所连线段的中点在此直线上（中点坐标适合直线方程）．???????????????????????????方法 １　 圆锥曲线中弦长的求法　 　 弦长问题常采用“设而不求”的策略，利用弦长公式求解．求解方法有：（１） 求出两交点的坐标，用两点间距离公式求解；（２）用弦长公式：｜ＡＢ｜ ＝ １＋ｋ ２ ｜ ｘ １－ｘ２ ｜ 或 ｜ ＡＢ ｜ ＝１＋１ｋ ２·｜ｙ １－ｙ２ ｜（ｋ≠０），其中 ｋ 为直线 ＡＢ 的斜率，Ａ（ｘ １ ，ｙ １ ），Ｂ（ｘ ２ ，ｙ ２ ）．　 已知椭圆 Ｍ：ｘ ２ａ ２＋ｙ ２ｂ ２＝１（ａ＞ｂ＞０）的左、右焦点分别为Ｆ １ （－２，０）、Ｆ ２ （２，０）．在椭圆 Ｍ 中有一内接三角形 ＡＢＣ，其顶点 Ｃ的坐标为（ ３，１），ＡＢ 所在直线的斜率为３３．（１）求椭圆 Ｍ 的方程；（２）当△ＡＢＣ 的面积最大时，求直线 ＡＢ 的方程．解析　 （１） 由椭圆的定义知 ２ａ ＝ （－２－ ３）２ ＋（０－１） ２＋ （２－ ３） ２ ＋（０－１） ２ ，所以 ａ ２ ＝６，所以 ｂ ２＝ａ２－ｃ２＝２．所以椭圆 Ｍ 的方程为ｘ ２６＋ｙ ２２＝１．（２）由题意设直线 ＡＢ 的方程为 ｙ＝３３ｘ＋ｍ，由ｘ ２６＋ｙ ２２＝１，ｙ＝３３ｘ＋ｍìîíïïïï消去 ｙ，得 ２ｘ ２ ＋２ ３ｍｘ＋３ｍ ２ －６＝０，因为直线 ＡＢ 与椭圆 Ｍ 交于不同的两点 Ａ，Ｂ，且点 Ｃ 不在直线 ＡＢ 上，????????????????

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