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张兆海

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    188宝金博页面版: 高考复习数学B版考点考法讲解：数列求和、数列的综合应用

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    内容提示： 数列求和、数列的综合应用　 　 １．求数列的前 ｎ 项和的方法（１）公式法（ｉ）等差数列的前 ｎ 项和公式Ｓ ｎ＝。睿ǎ １＋ａｎ ）２　 ＝　 ｎａ １ ＋ ｎ（ｎ－１）ｄ２。ǎ椋椋┑缺仁械那 ｎ 项和公式ａ．当 ｑ＝１ 时，Ｓ ｎ＝ｎａ１ ；ｂ．当 ｑ≠１ 时，Ｓ ｎ＝。 １ （１－ｑ ｎ ）１－ｑ　 ＝。 １－ａｎ ｑ１－ｑ。ǎ玻┓肿榍蠛：把一个数列分成几个可以直接求和的数列．（３）拆项相消：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程中消去中间项，只剩有限项再求和．（４）错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和．（５）倒序相加：把数列正着写和倒着写再相加，例如等差数列前 ｎ 项和公式的推导方法．２．常见的拆项公式（１）１ｎ（ｎ＋１） ＝１ｎ－１ｎ＋１ ；（２）１ｎ（ｎ＋ｋ） ＝１ｋ１ｎ－１ｎ＋ｋ( ) ；（３）１（２ｎ－１）（２ｎ＋１） ＝１２１２ｎ－１ －１２ｎ＋１( ) ；（４）１ｎ＋ｎ＋１＝ ｎ＋１－ ｎ；（５）１ｎ（ｎ＋１）（ｎ＋２） ＝１２１ｎ（ｎ＋１）－１（ｎ＋１）（ｎ＋２）[ ] ；（６）２ ｎ（２ ｎ －１）（２ ｎ＋１－１）＝１２ ｎ－１－１２ ｎ＋１－１；（７）若｛ａ ｎ ｝为等差数列，公差为 ｄ（ｄ≠０），则１ａ ｎ ·ａ ｎ＋１＝１ｄ１ａ ｎ－１ａ ｎ＋１( ) ．３．常见数列的前 ｎ 项和（１）１＋２＋３＋…＋ｎ＝ ｎ（ｎ＋１）２；（２）２＋４＋６＋…＋２ｎ＝ｎ ２＋ｎ；（３）１＋３＋５＋...

    文档格式：PDF | 页数：3 | 浏览次数：19 | 上传日期：2023-12-25 00:09:09 | 文档星级：
    数列求和、数列的综合应用　 　 １．求数列的前 ｎ 项和的方法（１）公式法（ｉ）等差数列的前 ｎ 项和公式Ｓ ｎ＝。睿ǎ １＋ａｎ ）２　 ＝　 ｎａ １ ＋ ｎ（ｎ－１）ｄ２。ǎ椋椋┑缺仁械那 ｎ 项和公式ａ．当 ｑ＝１ 时，Ｓ ｎ＝ｎａ１ ；ｂ．当 ｑ≠１ 时，Ｓ ｎ＝。 １ （１－ｑ ｎ ）１－ｑ　 ＝。 １－ａｎ ｑ１－ｑ。ǎ玻┓肿榍蠛：把一个数列分成几个可以直接求和的数列．（３）拆项相消：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程中消去中间项，只剩有限项再求和．（４）错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和．（５）倒序相加：把数列正着写和倒着写再相加，例如等差数列前 ｎ 项和公式的推导方法．２．常见的拆项公式（１）１ｎ（ｎ＋１） ＝１ｎ－１ｎ＋１ ；（２）１ｎ（ｎ＋ｋ） ＝１ｋ１ｎ－１ｎ＋ｋ( ) ；（３）１（２ｎ－１）（２ｎ＋１） ＝１２１２ｎ－１ －１２ｎ＋１( ) ；（４）１ｎ＋ｎ＋１＝ ｎ＋１－ ｎ；（５）１ｎ（ｎ＋１）（ｎ＋２） ＝１２１ｎ（ｎ＋１）－１（ｎ＋１）（ｎ＋２）[ ] ；（６）２ ｎ（２ ｎ －１）（２ ｎ＋１－１）＝１２ ｎ－１－１２ ｎ＋１－１；（７）若｛ａ ｎ ｝为等差数列，公差为 ｄ（ｄ≠０），则１ａ ｎ ·ａ ｎ＋１＝１ｄ１ａ ｎ－１ａ ｎ＋１( ) ．３．常见数列的前 ｎ 项和（１）１＋２＋３＋…＋ｎ＝ ｎ（ｎ＋１）２；（２）２＋４＋６＋…＋２ｎ＝ｎ ２＋ｎ；（３）１＋３＋５＋…＋（２ｎ－１）＝ ｎ ２ ；（４）１ ２＋２２＋３２ ＋…＋ｎ ２ ＝ ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）６；（５）１ ３＋２３＋３３ ＋…＋ｎ ３ ＝ｎ（ｎ＋１）２[ ]２．????????????????????方法 １　 错位相减法求和　 　 １．一般地，如果数列｛ａ ｎ ｝是等差数列，｛ｂ ｎ ｝是等比数列，求数列｛ａ ｎ ·ｂ ｎ ｝的前 ｎ 项和时，可采用错位相减法．２．用错位相减法求和时，应注意：（１）要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形．（２）在写出“Ｓ ｎ ”与“ｑＳ ｎ ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，便于下一步准确地写出“Ｓ ｎ－ｑＳｎ ”的表达式．（３）应用等比数列的求和公式时，必须注意公比 ｑ≠１ 这一前提条件，如果不能确定公比 ｑ 是不是 １，应分两种情况进行讨论．　 设等差数列｛ａ ｎ ｝的公差为 ｄ，前 ｎ 项和为 Ｓ ｎ ，等比数列｛ｂ ｎ ｝的公比为 ｑ．已知 ｂ １＝ａ１ ，ｂ ２ ＝２，ｑ＝ｄ，Ｓ １０ ＝１００．（１）求数列｛ａ ｎ ｝，｛ｂ ｎ ｝的通项公式；（２）当 ｄ＞１ 时，记 ｃ ｎ ＝ａ ｎｂ ｎ，求数列｛ｃ ｎ ｝的前 ｎ 项和 Ｔ ｎ ．解析　 （１）由题意有１０ａ １ ＋４５ｄ＝１００，ａ １ ｄ＝２，{即２ａ １ ＋９ｄ＝２０，ａ １ ｄ＝２，{解得ａ １＝１，ｄ＝２{或ａ １＝９，ｄ＝２９． {故ａ ｎ ＝２ｎ－１，ｂ ｎ＝２ｎ－１ {或ａ ｎ ＝１９（２ｎ＋７９），ｂ ｎ ＝９·２９( )ｎ－１．ìîíïïïï（２）由 ｄ＞１，知 ａ ｎ ＝２ｎ－１，ｂ ｎ＝２ｎ－１ ，故 ｃｎ ＝２ｎ－１２ ｎ－１，于是 Ｔ ｎ ＝１＋３２＋５２ ２＋７２ ３＋９２ ４＋…＋ ２ｎ－１２ ｎ－１，①１２Ｔ ｎ ＝１２＋３２ ２＋５２ ３＋７２ ４＋９２ ５＋…＋ ２ｎ－１２ ｎ．②①－②可得１２Ｔ ｎ ＝２＋１２＋１２ ２＋…＋１２ ｎ－２－ ２ｎ－１２ ｎ＝３－ ２ｎ＋３２ ｎ，故 Ｔ ｎ ＝６－ ２ｎ＋３２ ｎ－１．１－１ 　 已知等比数列｛ａ ｎ ｝的首项 ａ １ ＝２，前 ｎ 项和为 Ｓ ｎ ，且 ａ ２是 ３Ｓ ２ －４ 与 ２－５２Ｓ １ 的等差中项．（１）求数列｛ａ ｎ ｝的通项公式；（２）设 ｂ ｎ ＝（ｎ＋１）ａ ｎ ，Ｔ ｎ 是数列｛ｂ ｎ ｝的前 ｎ 项和，ｎ∈Ｎ ∗ ，求 Ｔ ｎ ．解析　 （１）由题意得 ２ａ ２＝３Ｓ２ －５２Ｓ １ －２，易得公比 ｑ＝１２，∴ ａ ｎ ＝１２ ｎ－２ ．（２）由（１）知，ａ ｎ ＝１２ ｎ－２ ，则 ｂｎ ＝（ｎ＋１）１２ ｎ－２ ，∴ Ｔ ｎ＝ｂ１＋ｂ２ ＋…＋ｂ ｎ ＝２×１２－１＋３×１２ ０＋４×１２ １＋…＋（ｎ＋１）１２ ｎ－２ ，①∴１２Ｔ ｎ ＝２×１２ ０＋３×１２ １＋４×１２ ２＋…＋（ｎ＋１）１２ ｎ－１ ，②①－②，得１２Ｔ ｎ ＝２×１２－１＋１２ ０＋１２ １＋…＋１２ ｎ－２æèçöø÷ －（ｎ＋１）１２ ｎ－１????????????????????????

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