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张兆海

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    188宝金博页面版: 高考复习数学B版考点考法讲解：导数的应用

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    内容提示： 导数的应用　 　 １．函数的单调性对于在（ａ，ｂ）内可导的函数 ｆ（ｘ），若 ｆ ′（ｘ）在（ａ，ｂ）的任意子区间内都不恒等于 ０，则ｆ ′（ｘ）≥０（ｘ∈（ａ，ｂ））?ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）上为　 增函数 。唬 ′（ｘ）≤０（ｘ∈（ａ，ｂ））?ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）上为　 减函数 。玻卸 ｆ（ｘ ０ ）是极值的方法一般地，当函数 ｆ（ｘ）在 ｘ＝ｘ ０ 处连续时，①如果在 ｘ ０ 附近的左侧　 ｆ ′（ｘ）＞０ 。也唷 ｆ ′（ｘ）＜０ 。敲矗妫ǎ ０ ）是极大值；②如果在 ｘ ０ 附近的左侧　 ｆ ′（ｘ）＜０ 。也唷 ｆ ′（ｘ）＞０ 。敲矗妫ǎ ０ ）是极小值；③如果在 ｘ ０ 附近的左侧和右侧， ｆ ′（ｘ）同号，那么 ｆ（ｘ ０ ）不是极值．例如：ｆ（ｘ）＝ ｘ ３ 在 ｘ＝０ 处没有极值．３．函数的最值（１）在闭区间［ａ，ｂ］上连续的函数 ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上必有最大值与最小值；（２）设函数 ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续，在（ａ，ｂ）内可导，先求 ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）内的极值，再将 ｆ（ｘ）的各极值与 ｆ（ａ）、 ｆ（ｂ）比较，其中最大的一个是　 最大值 。...

    文档格式：PDF | 页数：5 | 浏览次数：9 | 上传日期：2023-12-25 00:10:11 | 文档星级：
    导数的应用　 　 １．函数的单调性对于在（ａ，ｂ）内可导的函数 ｆ（ｘ），若 ｆ ′（ｘ）在（ａ，ｂ）的任意子区间内都不恒等于 ０，则ｆ ′（ｘ）≥０（ｘ∈（ａ，ｂ））⇔ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）上为　 增函数 。唬 ′（ｘ）≤０（ｘ∈（ａ，ｂ））⇔ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）上为　 减函数 。玻卸 ｆ（ｘ ０ ）是极值的方法一般地，当函数 ｆ（ｘ）在 ｘ＝ｘ ０ 处连续时，①如果在 ｘ ０ 附近的左侧　 ｆ ′（ｘ）＞０ 。也唷 ｆ ′（ｘ）＜０ 。敲矗妫ǎ ０ ）是极大值；②如果在 ｘ ０ 附近的左侧　 ｆ ′（ｘ）＜０ 。也唷 ｆ ′（ｘ）＞０ 。敲矗妫ǎ ０ ）是极小值；③如果在 ｘ ０ 附近的左侧和右侧， ｆ ′（ｘ）同号，那么 ｆ（ｘ ０ ）不是极值．例如：ｆ（ｘ）＝ ｘ ３ 在 ｘ＝０ 处没有极值．３．函数的最值（１）在闭区间［ａ，ｂ］上连续的函数 ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上必有最大值与最小值；（２）设函数 ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续，在（ａ，ｂ）内可导，先求 ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）内的极值，再将 ｆ（ｘ）的各极值与 ｆ（ａ）、 ｆ（ｂ）比较，其中最大的一个是　 最大值 。钚〉囊桓鍪恰 最小值 。局锻卣埂浚保比范ê牡サ髑浠蚯蠛募螅ㄐ。┲凳，应首先考虑所给函数的定义域，函数的单调区间是函数的定义域的子集．２．当求出函数的单调区间（如单调增区间）有多个时，不能把这些区间取并集．３．ｆ ′（ｘ）＞０（或 ｆ ′（ｘ）＜０）在某一区间上成立是 ｆ（ｘ）在该区间上为增函数（或减函数）的充分不必要条件．４．极值点不一定是最值点，最值点也不一定是极值点，但如果连续函数在开区间（ａ，ｂ）内只有一个极值点，则极大值就是最大值，极小值就是最小值．５．在求可导函数的最值时，不必讨论导数为零的点是不是极值点，直接将导数为零的点与端点的函数值进行比较即可．６．对于一般函数而言，函数的最值必在下列各点中取得：导数为零的点，导数不存在的点，端点．????????????????方法 １　 利用导数解决函数的单调性问题　 　 １．利用导数求函数的单调区间的两个方法方法一：（１）确定函数 ｙ＝ｆ（ｘ）的定义域；（２）求导数 ｙ′＝ｆ ′（ｘ）；（３）解不等式ｆ ′（ｘ）＞０，解集在定义域内的部分为单调递增区间；（４）解不等式ｆ ′（ｘ）＜０，解集在定义域内的部分为单调递减区间．［提醒］写单调区间时，同增（减）区间不能用“∪”连接．方法二：（１）确定函数 ｙ＝ｆ（ｘ）的定义域；（２）求导数 ｙ′＝ｆ ′（ｘ），令 ｆ ′（ｘ）＝ ０，解此方程，求出在定义域内的一切根；（３）把函数 ｆ（ｘ）的间断点（即 ｆ（ｘ）的无定义点）和上面所求的各根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数ｆ（ｘ）的定义域分成若干个小区间；（４）确定 ｆ ′（ｘ）在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个区间内的单调性．２．利用函数的单调性求参数的取值范围的解题思路（１）由可导函数 ｆ（ｘ） 在区间［ａ，ｂ］ 上单调递增（减） 可知ｆ ′（ｘ）≥０（ｆ ′（ｘ）≤０）在区间［ａ，ｂ］上恒成立，进而列出不等式；（２）利用分离参数法求解恒成立问题；（３）对等号是否成立进行单独检验，检验参数的取值能否使ｆ ′（ｘ）在整个区间上（或该区间的子区间上）恒等于 ０，若ｆ ′（ｘ）恒等于 ０，则参数的这个值应舍去；若只有在个别点（有限点）处有 ｆ ′（ｘ）＝ ０，则参数可取这个值．　 已知函数ｆ（ｘ）＝ ｌｎ ｘ＋ａｘ－ａ ２ ｘ ２ （ａ∈Ｒ 且 ａ≠０）．（１）若 ｘ＝１ 是函数 ｙ＝ｆ（ｘ）的极值点，求 ａ 的值；（２）求函数 ｆ（ｘ）的单调区间．解析　 （１）函数 ｆ（ｘ）的定义域为（０，＋ ∞），ｆ ′（ｘ）＝１ｘ＋ａ－２ａ ２ｘ＝－２ａ２ ｘ ２ ＋ａｘ＋１ｘ．因为 ｘ＝１ 是函数 ｙ＝ｆ（ｘ）的极值点，所以 ｆ ′（１）＝ １＋ａ－２ａ ２ ＝０，解得 ａ＝－１２或 ａ＝１．经检验，当 ａ＝－１２或 ａ＝１ 时，ｘ＝１ 是函数 ｙ＝ｆ（ｘ）的极值点．（２）由（１）知 ｆ ′（ｘ）＝－２ａ２ ｘ ２ ＋ａｘ＋１ｘ＝ （２ａｘ＋１）（－ａｘ＋１）ｘ，令 ｆ ′（ｘ）＝ ０，解得 ｘ １ ＝－１２ａ ，ｘ ２＝１ａ．当 ａ＞０ 时，随着 ｘ 的变化， ｆ ′（ｘ）， ｆ（ｘ）的变化情况如下表：ｘ ０，１ａ( )１ａ１ａ，＋∞( )ｆ ′（ｘ） ＋ ０ －ｆ（ｘ） ↗ 极大值 ↘　 　 ∴ 函数 ｙ＝ｆ（ｘ）的单调递增区间是 ０，１ａ( ) ，单调递减区间是１ａ，＋∞( ) ；当 ａ＜０ 时，随着 ｘ 的变化， ｆ ′（ｘ）， ｆ（ｘ）的变化情况如下表：?????????????????????????

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