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    188宝金博页面版: 高考数学一轮专项复习讲义（通用版）-利用导数研究函数的零点（含解析）

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    内容提示： 利用导数研究函数的零点题型 函数零点个数的探究典例 1 已知函数 f(x)＝a xe x ＋sin x 的图象在点(0，f(0))处的切线与 y 轴垂直．即 f′(0)＝0.(1)求实数 a 的值；(2)讨论 f(x)在区间(－π，π)上的零点个数．分别讨论在区间(－π，0)， 0，π2 ，π2 ，π 的零点情况．解：(1)f(x)＝a xe x ＋sin x，则 f′(x)＝a·1－xe x＋cos x，由题意，得函数 f(x)的图象在点(0，f(0))处的切线斜率为 0，即 f′(0)＝a＋1＝0，得 a＝－1.(2)由(1)知 f(x)＝－xe x ＋sin x，f(0)＝0，f′(x)＝x－1e x＋cos x，则 f″(x)＝ 2－xe x－sin x.当 x∈(－π，0)时， 2－xe x＞0，sin x＜0，此时 f″(x)＞0，f′(x)单调递增，二阶导数的符号，说明一阶导数的单调性．f′(x)＜f′(0)＝－1＋1＝0，故函数 f(x)单...

    文档格式：PDF | 页数：5 | 浏览次数：6 | 上传日期：2024-12-20 16:43:05 | 文档星级：
    利用导数研究函数的零点题型 函数零点个数的探究典例 1 已知函数 f(x)＝a xe x ＋sin x 的图象在点(0，f(0))处的切线与 y 轴垂直．即 f′(0)＝0.(1)求实数 a 的值；(2)讨论 f(x)在区间(－π，π)上的零点个数．分别讨论在区间(－π，0)， 0，π2 ，π2 ，π 的零点情况．解：(1)f(x)＝a xe x ＋sin x，则 f′(x)＝a·1－xe x＋cos x，由题意，得函数 f(x)的图象在点(0，f(0))处的切线斜率为 0，即 f′(0)＝a＋1＝0，得 a＝－1.(2)由(1)知 f(x)＝－xe x ＋sin x，f(0)＝0，f′(x)＝x－1e x＋cos x，则 f″(x)＝ 2－xe x－sin x.当 x∈(－π，0)时， 2－xe x＞0，sin x＜0，此时 f″(x)＞0，f′(x)单调递增，二阶导数的符号，说明一阶导数的单调性．f′(x)＜f′(0)＝－1＋1＝0，故函数 f(x)单调递减，f(x)＞f(0)＝0，故函数 f(x)在(－π，0)上无零点．前面一段，主要叙述 f(x)在(－π，0)上无零点. 即 x∈(－π，0)时，f(x)单调递减，f(x)＞0 恒成立．当 x∈(0，π)时，将 f(x)变形得 f(x)＝－xe x ＋sin x＝1e x (ex sin x－x)，设 F(x)＝e x sin x－x，则 F′(x)＝e x (sin x＋cos x)－1，设 k(x)＝e x (sin x＋cos x)－1，其实 x∈0， π2 时，e x ＞1，sin x＋cos x＞1，故知 k(x)＞0 无零点．则 k′(x)＝2e x cos x，易知当 x∈0， π2 时，k′(x)＞0，当 x∈π2 ，π 时，k′(x)＜0，故 k(x)在0， π2 上单调递增，在π2 ，π 上单调递减，又 k(0)＝0，kπ2 ＝eπ2－1＞0，k(π)＝－e π －1＜0，故存在 x 0 ∈π2 ，π ，使 k(x 0 )＝0，当 x∈(0，x 0 )时，k(x)＞0，F(x)单调递增；当 x∈(x 0 ，π)时，k(x)＜0，F(x)单调递减，又 F(0)＝0，故 F(x 0 )＞0，又 F(π)＝－π＜0，故函

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