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张兆海

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    188宝金博页面版: 高考复习数学B版考点考法讲解：抛物线及其性质

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    内容提示： 抛物线及其性质一、抛物线的定义到一定点 Ｆ 和定直线 ｌ（Ｆ?ｌ）　 距离相等 　的点的轨迹叫做抛物线，　 定点 Ｆ 　叫做抛物线的焦点，　 定直线 ｌ 　叫做抛物线的准线．注意：到一定点 Ｆ 和定直线 ｌ（Ｆ∈ｌ）距离相等的点的轨迹是过点 Ｆ 且垂直于 ｌ 的直线．二、抛物线的方程与几何性质１．对于抛物线的标准方程：ｙ ２ ＝ ±２ｐｘ（ｐ＞０）与 ｘ ２ ＝ ±２ｐｙ（ｐ＞０），需要注意以下问题：（１）标准方程的左边为 ｙ（或 ｘ）的平方，右边则为 ｘ（或 ｙ）的一次项；（２）ｐ 是抛物线的焦点到准线的距离，所以 ｐ 恒为正数；（３）只有顶点在原点，焦点在坐标轴上的抛物线才有标准方程；（４）抛物线的标准方程有四种形式，要弄清方程与图形的对应关系，其规律是“一次项决定对称轴，其符号决定开口...

    文档格式：PDF | 页数：3 | 浏览次数：27 | 上传日期：2023-12-25 00:08:44 | 文档星级：
    抛物线及其性质一、抛物线的定义到一定点 Ｆ 和定直线 ｌ（Ｆ∉ｌ）　 距离相等 　的点的轨迹叫做抛物线，　 定点 Ｆ 　叫做抛物线的焦点，　 定直线 ｌ 　叫做抛物线的准线．注意：到一定点 Ｆ 和定直线 ｌ（Ｆ∈ｌ）距离相等的点的轨迹是过点 Ｆ 且垂直于 ｌ 的直线．二、抛物线的方程与几何性质１．对于抛物线的标准方程：ｙ ２ ＝ ±２ｐｘ（ｐ＞０）与 ｘ ２ ＝ ±２ｐｙ（ｐ＞０），需要注意以下问题：（１）标准方程的左边为 ｙ（或 ｘ）的平方，右边则为 ｘ（或 ｙ）的一次项；（２）ｐ 是抛物线的焦点到准线的距离，所以 ｐ 恒为正数；（３）只有顶点在原点，焦点在坐标轴上的抛物线才有标准方程；（４）抛物线的标准方程有四种形式，要弄清方程与图形的对应关系，其规律是“一次项决定对称轴，其符号决定开口方向”；（５）焦点的非零坐标是一次项系数的１４，准线与坐标轴的交点的非零坐标为一次项系数的－１４．２．焦点弦的性质（１）焦半径与焦点弦：若 Ｐ（ｘ ０ ，ｙ ０ ），Ｑ（ｘ １ ，ｙ １ ）是抛物线上两动点，Ｆ 是抛物线的焦点，且 ＰＱ 过焦点，则线段 ＰＦ 称为抛物线的焦半径，线段 ＰＱ 称为抛物线的焦点弦，如下表：标准方程ｙ ２ ＝２ｐｘ（ｐ＞０） ｙ ２ ＝－２ｐｘ（ｐ＞０） ｘ ２ ＝２ｐｙ（ｐ＞０） ｘ ２ ＝－２ｐｙ（ｐ＞０）图形焦半径长ｘ ０ ＋ｐ２－ｘ０ ＋ｐ２ｙ ０ ＋ｐ２－ｙ０ ＋ｐ２焦点弦长ｘ ０＋ｘ１＋ｐ－（ｘ０＋ｘ１ ）＋ｐｙ ０＋ｙ１＋ｐ－（ｙ０＋ｙ１ ）＋ｐ　 　 （２）以抛物线 ｙ ２ ＝２ｐｘ（ｐ＞０）为例，设 ＡＢ 是过抛物线焦点的一条弦（焦点弦），Ｆ 是抛物线的焦点，Ａ（ｘ １ ，ｙ １ ），Ｂ（ｘ ２ ，ｙ ２ ），Ａ、Ｂ在准线上的射影为 Ａ １ 、Ｂ １ ，则有以下结论：①ｘ １ ｘ ２ ＝ｐ ２４，ｙ １ ｙ ２＝－ｐ２ ；②若直线 ＡＢ 的倾斜角为 θ，且 Ａ 位于 ｘ 轴上方，Ｂ 位于 ｘ 轴下方，则｜ＡＦ｜ ＝ｐ１－ｃｏｓ θ ，｜ＢＦ｜ ＝ｐ１＋ｃｏｓ θ ；③｜ＡＢ｜ ＝ｘ １＋ｘ２ ＋ｐ＝２ｐｓｉｎ ２ θ （其中 θ 为直线 ＡＢ 的倾斜角），抛物线的通径长为 ２ｐ，通径是最短的焦点弦；④Ｓ △ＡＯＢ ＝ｐ ２２ｓｉｎ θ （其中 θ 为直线 ＡＢ 的倾斜角）；⑤１｜ＡＦ｜＋１｜ＢＦ｜＝２ｐ为定值；⑥以 ＡＢ 为直径的圆与抛物线的准线相切；⑦以 ＡＦ（或 ＢＦ）为直径的圆与 ｙ 轴相切；⑧以 Ａ １ Ｂ １ 为直径的圆与直线 ＡＢ 相切，切点为 Ｆ，∠Ａ １ ＦＢ １＝９０°；⑨Ａ，Ｏ，Ｂ １ 三点共线，Ｂ，Ｏ，Ａ １ 三点也共线．３．如图所示，ＡＢ 是过抛物线 ｘ ２ ＝ ２ｐｙ（ｐ＞０） 焦点的一条弦（焦点弦），分别过 Ａ，Ｂ 作抛物线的切线，交于点 Ｐ，连接 ＰＦ，则有以下结论：（１）点 Ｐ 的轨迹是一条直线，即抛物线的准线 ｌ：ｙ＝－ｐ２；（２）两切线互相垂直，即 ＰＡ⊥ＰＢ；（３）ＰＦ⊥ＡＢ；（４）点 Ｐ 的坐标为ｘ Ａ＋ｘＢ２，－ｐ２æèçöø÷ ．４．非焦点弦的性质（１）已知直线 ｌ 与抛物线 ｙ ２ ＝ ２ｐｘ（ｐ＞０）交于 Ａ、Ｂ 两点，若ＯＡ⊥ＯＢ，则直线 ｌ 过定点（２ｐ，０），反之亦成立；（２）已知 Ｍ（ｘ ０ ，ｙ ０ ）是抛物线 ｙ ２ ＝ ２ｐｘ（ｐ＞０）上任意一点，点Ｎ （ ａ， ０ ） 是 抛 物 线 的 对 称 轴 上 一 点， 则 ｜ ＭＮ ｜ ｍｉｎ＝｜ａ｜（ａ≤ｐ），２ｐａ－ｐ ２ （ａ＞ｐ）．{???????????????????????????????????????方法 １　 应用抛物线定义解题的策略　 　 抛物线的离心率 ｅ＝１ 体现了抛物线上的点到焦点的距离等于抛物线上的点到准线的距离，因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦的问题，可以优先考虑利用抛物线的定义将点到焦点的距离转化为点到准线的距离，即｜ＰＦ｜ ＝ ｜ｘ ｐ｜＋ｐ２或｜ＰＦ｜ ＝ ｜ｙ ｐ｜ ＋ｐ２，从而使问题简化．反之，点到准线的距离也可以转化为点到焦点的距离．　 （２０１４ 课标全国Ⅰ，１０，５ 分）已知抛物线 Ｃ：ｙ ２ ＝ ８ｘ的焦点为 Ｆ，准线为 ｌ，Ｐ 是 ｌ 上一点，Ｑ 是直线 ＰＦ 与 Ｃ 的一个交点．若ＦＰ→ ＝４ ＦＱ → ，则｜ＱＦ｜ ＝（　 　 ）?????

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