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高二数学暑假作业精讲精练 题 专题 09 导数与函数的单调性 基础知识复习 1．函数的单调性 在某个区间(a，b)内，如果 f′(x)>0，那么函数 y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果 f′(x)<0，那么函数 y＝f(x)在这个区间内单调递减． 2．函数的极值 (1)一般地，求函数 y＝f(x)的极值的方法 解方程 f′(x)＝0，当 f′(x 0 )＝0 时： ①如果在 x 0 附近的左侧 f′(x)>0，右侧 f′(x)<0，那么 f(x 0 )是极大值； ②如果在 x 0 附近的左侧 f′(x)<0，右侧 f′(x)>0，那么 f(x 0 )是极小值． (2)求可导函数极值的步骤 ①求 f′(x)； ②求方程 f′(x)＝0 的根； ③考查 f′(x)在方程 f′(x)＝0 的根附近的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么 f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么 f(x)在这个根处取得极小值． 3．函数的最值 (1)在闭区间[a，b]上连续的函数 f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值． (2)若函数 f(x)在[a，b]上单调递增，则 f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数 f(x)在[a，b]上单调递减，则 f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值． (3)设函数 f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求 f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下： ①求函数 y＝f(x)在(a，b)内的极值； ②将函数 y＝f(x)的各极值与端点处的函数值 f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 【知识拓展】 1．在某区间内 f′(x)>0(f′(x)<0)是函数 f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件． 2．可导函数 f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有 f′(x)≥0(f′(x)≤0)且 f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零． 3．对于可导函数 f(x)，f′(x 0 )＝0 是函数 f(x)在 x＝x 0 处有极值的必要不充分条件． 典型习题强化 1 ． 已知偶函数?(?)的定义域为 R，导函数为?′(?)，若对任意? ∈ [0,+∞)，都有2?(?) + ??′(?) > 0恒成立，则下列结论正确的是（ ） A．?(0) < 0 B．9?(−3) < ?(1) C．4?(2) > ?(−1 ） D．?(1) < ?(2) 【答案】C 【解析】 令? = 0，则2?(0) + 0 > 0,∴ ?(0) > 0，则 A 错误； 令?(?) = ? 2 ?(?)，则?′(?) = 2??(?) + ? 2 ?′(?)，